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向量第10课时平面向量数量积的坐标表示–模–夹角
向量第10课时 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
教学目的:
1.掌握平面向量数量积运算规律;
2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题;
3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断,会证明两向量垂直,以及能解决一些简单问题.教学重点:平面向量数量积及运算规律.
教学难点:平面向量数量积的应用
教学过程:
一、复习引入:
1.平面向量数量积(内积)的定义:
2.两个向量的数量积的性质: 设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量.
1? e?a = a?e =|a|cos?; 2? a?b ? a?b = 0
3? 当a与b同向时,a?b = |a||b|;当a与b反向时,a?b = ?|a||b|. 特别的a?a = |a|2或
4?cos? = ; 5?|a?b| ≤ |a||b|
3.练习:
(1)已知|a|=1,|b|=,且(a-b)与a垂直,则a与b的夹角是( )
A.60° B.30° C.135° D.45°
(2)已知|a|=2,|b|=1,a与b之间的夹角为,那么向量m=a-4b的模为( )
A.2 B.2 C.6 D.12
二、讲解新课:
探究:已知两个非零向量,,怎样用和的坐标表示?.
1、平面两向量数量积的坐标表示
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即
2. 平面内两点间的距离公式
(1)设,则或.
(2)如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、,
那么(平面内两点间的距离公式)
向量垂直的判定
设,,则
两向量夹角的余弦()
cos? =
二、讲解范例:
例1 已知A(1, 2),B(2, 3),C(?2, 5),试判断△ABC的形状,并给出证明.
例2 设a = (5, ?7),b = (?6, ?4),求a·b及a、b间的夹角θ(精确到1o)
分析:为求a与b夹角,需先求a·b及|a|·|b|,再结合夹角θ的范围确定其值.
例3 已知a=(1,),b=(+1,-1),则a与b的夹角是多少?
分析:为求a与b夹角,需先求a·b及|a|·|b|,再结合夹角θ的范围确定其值.
解:由a=(1,),b=(+1,-1)
有a·b=+1+(-1)=4,|a|=2,|b|=2.
记a与b的夹角为θ,则cosθ= 又∵0≤θ≤π,∴θ=
评述:已知三角形函数值求角时,应注重角的范围的确定.
三、课堂练习:1、P107面1、2、3题
2、已知A(3,2),B(-1,-1),若点P(x,-)在线段AB的中垂线上,则x= .
四、小结: 1、
2、平面内两点间的距离公式
3、向量垂直的判定:设,,则
五、课后作业:《习案》作业二十四。
思考:1、如图,以原点和A(5, 2)为顶点作等腰直角△OAB,使?B = 90?,求点B和向量的坐标.
解:设B点坐标(x, y),则= (x, y),= (x?5, y?2)
∵? ∴x(x?5) + y(y?2) = 0即:x2 + y2 ?5x ? 2y = 0
又∵|| = || ∴x2 + y2 = (x?5)2 + (y?2)2即:10x + 4y = 29
由
∴B点坐标或;=或
2 在△ABC中,=(2, 3),=(1, k),且△ABC的一个内角为直角,求k值.
解:当A = 90?时,?= 0,∴2×1 +3×k = 0 ∴k =
当B = 90?时,?= 0,=?= (1?2, k?3) = (?1, k?3)
∴2×(?1) +3×(k?3) = 0 ∴k =
当C = 90?时,?= 0,∴?1 + k(k?3) = 0 ∴k =
Xupeisen110 高中数学
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