向量中的定值和最值.doc

向量中的定值与最值 向量中的定值与最值问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，本文举列探求向量中多种形式的最值问题的求解策略 模的最值 例1．若，则的取值范围是 。 分析;利用向量模不等式求解。 解：，当同向时，；当反向时，；当不共线时，，即，综上可知：。 评注：运用向量模不等式求范围时要注意等号成立的条件。 例2(湖北高考题)已知向量b=，c=.求向量b+c的长度的最大值； 解析:b+c=则|b+c|2=. ，|b+c|，即| b+c|≤2所以向量b+c的长度的最大值为2. 评注：运用三角函数的有界性求最值是最常见的方法之一。 （全国卷)已知|a|=|b|=1，ab，满足(a-c)(b-c)=0，求|c|的最大值。 解析:由(a-c)(b-c)=0得c2=(a+b)c，(其中a+b与c的夹角为)|c|=| a+b| cos=cos。|c|的最大值为 变式(2011辽宁卷)若向量a、b、c均为单位向量，且ab＝0，(a-c)(b-c)0，则|a+b-c|的最大值为( ) A．-1 B.1 C .D。2 解析:由ab＝0，(a-c)(b-c)0，得ac+bcc2=1，( a+b-c)2=1+1+1-2(ac+bc)1. |a+b-c|1. 变式(2013湖南文)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为(　　)． A． B． C． D．b|的最小值。 分析:转化为二次函数求解 解析: ab=cos550cos250+sin550sin250=cos300=,|a-b|2=a2-2ab+2b2=2-+1= ,故|a-b|的最小值为。 评注：平方是向量模求解的基本方法，本题利用二次函数求最值。 例5，(浙江高考题)已知平面向量满足，且与的夹角为1200，求的最大值 分析: 利用正弦定理构造函数进行求解 解析:记，由正弦定理得，又，即，故的最大值为 评注：本题考查向量模，及向量减法的几何意义，考查了数形结合的数学思想，关键是利用正弦定理构造函数进行求解。 例6（２０１１全国卷）设向量a、b、c满足｜a｜＝｜b｜＝１，ab＝－，＜a－c，b－c＞＝６００，则｜c｜的最大值等于( ) A.2 B. C. D。1 分析: 转化为几何图形求解 解析:如图，设=a，= b，=c，则= a－c，= b－c。｜a｜＝｜b｜＝１，OA=OB=1.又 ab＝－，｜a｜｜b｜cos－, cos－, 1200. 又＜a－c，b－c＞＝６００，而1200+６００=1800. O、A、C、B四点共圆。当OC为圆的直径时，｜c｜最大，此时，Rt全等于Rt，，。故选A 评注: 本题主要考查了向量的运算，把题中所给条件转化为图形语言是本题的难点所在。 变式(2011天津卷)已知直角梯形ABCD中，AD||BC，=9００，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则||的最小值为__________。 分析: 建立平面直角坐标系转化为坐标运算。 解析:以D为原点，分别以DA、DC所在直线为xy轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC=a,DP=x. D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,x),(2,-x), (1,a-x), =(5,3a-4x), ||2=25+(3a-4x)225, ||的最小值为5. 评注: 本题主要考查向量加减法及数乘运算，考查运算能力及观察、分析问题的能力 数量积的最值 例7 在正方形ABCD中，已知AB=2，M为BC的中点，若N为正方形内(含边界)任意一点，求的最大值 解析:以AB,AD所在直线为x,y轴，建立直角坐标系，则B（2，0）,D（0，2）,C（2，2）,M（2，1）,设N(x,y)，则，且知在点(2,2)处取最大值6. 例8 四边形ABCD中，G为的重心，AG=2，点O在AG上，求(++)的最小值 解析:G为的重心0，又++= +，点O在AG上(++)==-3 ，故(++)的最小值 是-3. 评注：本题主要考查共线向量，向量数量积等基本知识，注意重心的向量表示及运用二次函数求最值的思想。 例9 已知，，且Q是直线OP上的一点(O为原点)， 求的最小值。 解析: O,P,Q三点共线，故设= =，所以当=2时，取最小值-8. 评注：本题主要考查共线向量，向量数量积等基本知识，利用共线向量设出点Q的坐标是关键，运用二次函数最后求得最值。 例10