线性代数-二次型及对称矩阵的有定性.ppt

第三节 练习： END 选用例题 * 一、正定二次型正定矩阵 定义 由定义，可得以下结论： 充分性是显然的；下面用反证法证必要性： 代入二次型，得 由上述两个结论可知，研究二次型的正定性，只要通过非退化线性变换，将其化为标准形，就容易由以下定理判别其正定性。 定理 推论 实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值 全为正。 ? 正定矩阵。 这是因为： 解 例1 判别二次型 是否正定。 二次型对应的矩阵为 全为正， 因此二次型正定。 定理 设矩阵A正定，则 （1）A的主对角元全为正； 证明 上述定理是A正定的必要条件，但不是充分条件。 定理 解 例2 判别二次型 是否正定。 二次型对应的矩阵为 它的顺序主子式为： 因此 A是正定的， 即二次型 f 正定。 解 例3 设有实二次型 问 t 取何值时，该二次型为正定二次型？ f 的矩阵为 顺序主子式为： 解得 ? 实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵C，使得 实际上，正定二次型的规范形为 即A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E ， 即存在可逆矩阵C ，使 ? 证 因为 于是 2、其它有定二次型 定义 如果二次型不是有定的，就称为不定二次型。 显然，A是负定（半负定 ）的当且仅当-A是正定（半正定）的。由此，容易得出以下结论： （2）A负定的充分必要条件是A的特征值全负； （3）A半负定的充分必要条件是A的特征值非正； （4）A负定的充分必要条件是A的奇数阶顺序主子式全为负而偶数阶顺序主子式全为正； （1）A半正定的充分必要条件是A的特征值非负； （5）若A负定，则A的对角元全为负。 注意: 1.最后一条只是必要条件。 2.A的顺序主子式全非负， A也未必是半正定的。 例如，设矩阵 显然A的顺序主子式 但对角元有正有负，显然A是不定的。 例5 判定下列二次型是否是有定二次型。 解 （1）f 的矩阵为 顺序主子式 所以 f 是负定的。 例5 判定下列二次型是否是有定二次型。 解 （2）f 的矩阵为 顺序主子式 所以 f 是不定的。 P222 习题五 * * * 2. 设A是m阶实对称阵且正定,B为实矩阵，试证:为正定阵的充分必要条件是。 设为正定阵, 则对任意实n维向量, 有 , 即 , 可见 , 这就是说,齐次线性方程组只有零解, 因此B列满秩,即； 因为, 可见为实对称阵. 设是一个实二次型,对任意非零向量 （2）A的行列式。 （1）因为正定， 取，则有 。 （2）因为A正定，所以A的特征值全大于零，即得。 二次型正定的充分必要条件是，A的顺序主子式全大于零。（证略） 其中的k阶顺序主子式是指行列式 设A为矩阵，且的秩，则为正定矩阵。 故是n阶对称矩阵。 又，可知齐次线性方程组仅有零解， 所以对任意，必有， 即二次型为正定二次型， 即矩阵为正定矩阵。 （1）若恒有，则称是半正定二次型，A称为半正定矩阵； （2）若恒有，则称是负定二次型，A称为负定矩阵； （3）若恒有，则称是半负定二次型，A称为半负定矩阵。 设是一个实二次型，若对任意的非零向量，恒有，则称是正定二次型，它所对应的矩阵A称为正定矩阵。 （1）二次型正定的充分必要条件是。 假设某个， 取，其余， ， 与二次型正定矛盾。 (2) 二次型若正定，经过可逆线性变换，化为，其正定性保持不变。 这是因为C是可逆矩阵，只要，就有， 于是， 即。 由变换的可逆性，若正定，也可推出正定。 (1) 二次型正定的充分必要条件是。 n元实二次型正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于n。 矩阵A与它的转置有相同的特征值； 下面，我们从二次型矩阵A的子式，来判别二次型的正定性。先给出A正定的两个必要条件，再给一个充分必要条件。