第五章矩阵的相似变换和特征值–08.ppt

第五章 矩阵的相似变换和特征值 §5.1 方阵的特征值和特征向量 解: 例12续. 设 ,求可逆阵P和对角阵?, 使得 P–1AP = ?. 并求出Ak . 使得 P–1AP = ?. ? Ak =(P?P–1)k =P?kP–1 P–1AP =? ? A =P?P–1 第五章 矩阵的相似变换和特征值 §5.1 方阵的特征值和特征向量 解: |?I–A| = (? –2)(?–1)2. 所以A的特征值为?1=2, ?2= ?3= 1. 例13. 讨论 的相似对角化问题. 所以矩阵A 的不能相似对角化，即不存在可逆阵P使得 P–1AP = ?. 当?2=?3=1, §5.2 相似矩阵 三. 方阵的相似对角化 二. 方阵与对角矩阵相似的充要条件 一.相似矩阵的定义 ?可逆阵P, s.t.P?1AP =B. 相似是相抵的特例: 相似必相抵,反之不然. 相似是一等价关系, A~B, 则f(A)~ f(B). 相似则特征多项式相同，但反之不然. 不变量为特征值,迹,行列式,秩 相似关系下的最简形为 ? = diag[?1, ?2, …, ?n]. A???A有n个线性无关的特征向量 A(复)???r(?iI?A) = n?ni A有n个不同特征值?A??. P –1AP=diag[?1,…,?n] Ex. §5.3 实对称矩阵的相似对角化 (2学时) 一. 实对称矩阵的特征值和特征向量 二. 实对称矩阵正交相似于对角矩阵 第五章 矩阵的相似变换和特征值 1. 复矩阵的共轭矩阵 2. 实对称矩阵 第五章 矩阵的相似变换和特征值 §5.3 实对称矩阵的相似对角化 §5.3 实对称矩阵的相似对角化 一. 实对称矩阵的特征值和特征向量 1. 复矩阵的共轭矩阵 设A = [aij]m?n, aij?C. A的共轭矩阵. 则称A = [aij]m?n为 共轭运算的性质： (1) kA = k A ; (2) A?B = A?B ; (3) AT = ; (4) AB = A B; (5) 若A可逆, 则A也可逆, 且 实对称矩阵 * * 第五章 矩阵的相似变换和特征值 §5.1 方阵的特征值和特征向量 (2学时) 一. 特征值、特征向量的定义和计算 §5.2 相似矩阵 (2学时) §5.3 实对称矩阵的相似对角化 (2学时) 二. 特征值、特征向量的性质 初等变换 相抵 等价类的 不变量 矩阵的秩 相抵标准形 不变量 的特例是 1. 定义 ? ? = ? n阶方阵 非零向量 特征值(eigenvalue) 特征向量(eigenvector) 对应 第五章 矩阵的相似变换和特征值 §5.1 方阵的特征值和特征向量 §5.1 方阵的特征值和特征向量 一. 特征值、特征向量的定义和计算 A ? 数 注1. 几何意义 A3?3 ? y=A? = ?? //? y=A? 注2. ? ? ? 否则, ? = ?, ???R, A? = ? = ?? 但是可以 ?=0, 此时, A? = 0? = ? 核 第四章 矩阵的特征值和特征向量 §4.2 特征值与特征向量 ? A? = ?? (?I–A)? = 0 |?I–A| = 0 特征方程 = ?–a11 –a12 … –a1n –a21 ?–a22 … –a2n … … … … –an1 –an2 … ?–ann 特征多项式 特征值 特征向量 ? ? ? 对每个?, 求(?I–A)x = 0的基础解系 ?1,?2,?,?t 对应于?的所有特征向量为 k1?1+k2?2+?+kt?t , k1,?, kt 不全为0. 2. 计算 先解|?I–A|=0, 求出所有特征值?, 第五章 矩阵的相似变换和特征值 §5.1 方阵的特征值和特征向量 解: |?I–A| = (?+1)(? –2)2. 所以A的特征值为?1= –1, ?2= ?3= 2. (–I–A)x = ?的基础解系: p1=[1,0,1]T. 对应于?1= –1的特征向量为k1p1 (0?k1?R). (2I–A)x = ?的基础解系: p2=[0, 1, –1]T, p3=[1, 0, 4]T.