第8章第9节曲线与方程.ppt

一、曲线与方程 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系： 1．曲线上点的坐标都是这个 ． 2．以这个方程的解为坐标的点都是 ． 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线． 1．若曲线与方程的对应关系中只满足第2条会怎样？ 提示：若只满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，则这个方程可能只是部分曲线的方程，而非整个曲线的方程． 二、求曲线方程的一般步骤 1．建立 的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标； 2．写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}； 3．用坐标表示条件p(M)，列出方程 ； 4．化方程f(x，y)＝0为最简形式； 5．说明以化简后的方程的解为坐标的点都在 ． 三、求轨迹方程的常用方法 1．直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系f(x，y)＝0. 2．待定系数法：已知所求曲线的类型，先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数． 3．定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程． 4．相关点法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程． 2．“动点的轨迹方程”与“动点的轨迹”是一回事吗？ 提示：“求动点的轨迹方程”和“求动点的轨迹”是不同的．前者只须求出轨迹的方程，标出变量x，y的范围；后者除求出方程外，还应指出方程的曲线的图形，并说明图形的形状、位置、大小等有关的数据． 答案：B 5．已知两定点A(－2,0)、B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于________． 【考向探寻】 由所给条件直接求曲线的方程． 【典例剖析】 用直接法求曲线方程的步骤 (1)建立适当的坐标系，设出动点坐标； (2)列出等量关系； (3)用坐标条件化为方程f(x，y)＝0； (4)化简方程； (5)检验； (6)结论． 【活学活用】 1．设点F(2,0)，动点P到y轴的距离为d，求满足条件|PF|－d＝2的点P的轨迹方程． 【考向探寻】 根据圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义求轨迹方程． 【典例剖析】 (1)已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆的一个动点，如果M是线段F1P的中点，则动点M的轨迹是 A．圆　　　　　　　　　 B．椭圆 C．双曲线的一支　　 D．抛物线 (1)连接点P与原点，根据中位线的性质得到点P满足的条件即可． (2)把三角关系转化为线段的关系，判断出动点的轨迹，然后利用待定系数法求方程． 求曲线方程时，根据条件可从曲线的定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线的定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程．这种求曲线方程的方法是定义法．用定义法求轨迹方程的关键是紧扣解析几何中有关曲线的定义． 求出轨迹(轨迹方程)后，要判断曲线上的点是否都满足条件，对于不满足条件的点要去掉． 【活学活用】 2．一动圆与圆x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同时过点(3,0)，求动圆圆心M的轨迹方程． 解：圆方程即为(x＋3)2＋y2＝4. 设圆心为A ，则A点坐标为(－3,0)．(3,0)为点B，动圆半径为R，则由此得：|MB|＝R，|MA|＝R＋2. 【考向探寻】 利用代入法(相关点法)求轨迹方程． 【典例剖析】 (1)探求点M坐标与点P坐标的关系，利用代入法求解． (2)设M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，由条件得到x0，y0的关系，再由条件求得x、y与x0，y0的关系，代入求解即可． 动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x，y)却随另一动点Q(x′，y′)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹方程为给定或容易求得，则可先将x′、y′表示为x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法． 求对称曲线(轴对称、中心对称等)的方程实质上也是用代入法(相关点法)解题． 如图所示，过点P(0，－2)的直线l交抛物线y2＝4x于A，B两点，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAMB的顶点M的轨迹方程． 本题的错误之处在于忽略了k的范围，直线l与抛物线交于不同两点时，直线的斜率k是有前提条件的，首先k≠0，其次是消元后的一元二次方程的判别式大于0，忽视这些限