第6章节4正定二次型和正定矩阵.ppt

* 例 但A并非半正定，事实上，A对应的二次型 主子式 顺序主子式 * * 三、正定矩阵的性质 1.若A为正定矩阵,则|A|0,A可逆. 2.若A为正定矩阵,则A-1也是正定矩阵. 证明 A为正定矩阵,其全部特征值为正数,A-1的全部特征值是它们的倒数,也全是正数,故A-1正定. 3.正定矩阵的对角线元素都是正数. 4. A为正定矩阵,Ak也是正定矩阵. 5.A,B为同阶正定矩阵,则A+B是正定矩阵. 6.若A为正定矩阵,则存在可逆矩阵P,使得A=PPT. 7. A为正定矩阵,A 的所有主子式大于零. * * 证明 由于A合同于单位矩阵,存在可逆矩阵Q,使得A=QTEQ=QTQ=QT(QT)T=PPT,P=QT. 8. 若A为n阶正定矩阵, 则 正定. 证明 对于任意m维列向量 由于 矩阵P的列向量组线性无关, 是P的列向量的非零线性组合,故 而A正定,故 故 是正定矩阵. * * 的若干性质 1.若A为n阶可逆矩阵,则 为正定矩阵. 证明 是实对称矩阵 .对于任意 A可逆, 否则 故 正定. 2.若A为 矩阵,且 则 为m阶正定矩阵, 为n阶半正定矩阵,但非正定矩阵. 证明 任意 A的列向量组线性无关, * 的列向量组线性相关，存在n维列向量 使得 ,于是 故 不是正定矩阵。 * * 3.若A为 矩阵,且 则 和 分别为m阶和n阶半正定矩阵但非正定矩阵. 故 半正定. 列向量组线性相关,存在非零向量X,使得AX=O, 故 非正定. * * 作业 习题6 11，12(2)，13，14，19，20. * * §4 正定二次型和正定矩阵 一、基本概念 二、正定矩阵的充分必要条件 三、正定矩阵的性质 * * 一、基本概念 定义 设A为实n阶对称矩阵，如果对于任意非零向量X，二次型f=XTAX均为正数，则称二次型f为正定的，其矩阵A 称为正定矩阵. 定义 如果对于任意向量X，二次型f=XTAX均为非负(非正)数，则称二次型f为半正(负)定的，其矩阵A 称为半正(负)定矩阵. 定义 如果实二次型f=XTAX对于某些向量X为正数,并且对于对于某些向量X为负数,则称二次型是不定的. * * 例 * * 二、正定矩阵的充分必要条件 定理 实对称矩阵A正定的充分必要条件是其特征值都是正数. 证明 设实对称矩阵A的特征值 都是正数.存在正交矩阵Q,使得 QTAQ= , 为对角矩阵,其对角线元素为 , 对于 令 即 ,显然 又 故 这就证明了条件的充分性. * 设A是正定矩阵,而 是其任意特征值, X是属于 的特征向量, 则有 于是 必要性得证. 推论 若A是正定矩阵,则|A|0. 证明 * * * 定理 实对称矩阵A负定的充分必要条件是其 特征值都是负数. * * 例 判断下列矩阵是否为正定矩阵 解 * * * * E:=matrix([[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]);A:=matrix([[6,-2,2],[-2,5,0],[2,0,7]]);f:=det(lambda*E-A);f_factor:=factor(f); * * 例设A为n阶实对称矩阵,且满足 证明A为正定矩阵. 证明设 为A的特征值,则 为 的特征值,故