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第五章 能量守恒方程 —伯努利方程Chapter 5 Conservation of Energy ——Bernoulli’s Theorem 5.1伯努利方程的微分形式Differential Form of Bernoulli’s Equation 在流体的任意方向流动中，沿着流体流线方向考 查流体的流动，则流体的流动只有一维流动的特征。 设重力场垂直向下，从稳定理想流体的动量方程(3-44) 出发，推导伯努利方程。 按全微分的定义，流体质点的流动速度的微分为： 故： 相应的速度分量vx,vy,vz对时间t的导数可以写成： 各速度分量对时间t的导数可以写成： 因此第三章中的欧拉方程式： 可写成： 如坐标系的z轴垂直地面，则gx=gy=0,gz= -g，再对上面三式的两端分别乘以dx、dy、dz，则： 将三式相加得： 流体质点在空间任意方向上的速度与各方向上速度分量的关系为: 即： 将此式代入(5-1)式，又右端第一项括号内为压力的全微分dp，故(5-1)可写成： 此式即为流体质点在微元空间(dx,dy,dz)内沿任意方向流线运动时的伯努利方程—能量平衡关系式。 当流体质点沿流线由空间一点p1(v1,z1)运动到p2(v2,z2)，如图所示。 质点流动过程中的能量 平衡关系可由积分形式的伯 努利方程确定。 将微分形式伯努利方程 (5-1)积分求解即可得到： 式(5-3)是伯努利在1738年提出的，这种形式的方程也称伯努利方程，它表示同一流线上不同点处的能量和总保持为一个不变的常数，即为能量守恒。将(5-3)式各项都乘以ρ则此式成为： 此式各项的量纲都是kgm/s2m2或Nm/m3，可把(5-3)式中各项视为能量的表现形式。式(5-4)中各项相应的视为单位体积流体所具有的位能、压力能和动能。 把(5-4)式各项除以常数ρg，则可得伯努利方程的常用形式： 此式各项的量纲都是m，依次各项的物理意义为分别为单位质量流体所具有的位能(位置水头)、压力能(压力水头)和动能(速度水头)。 流体的位能、压力能、和动能三者之和称为总能量(机械能)。 另一方面，由于伯努利方程(5-4)中每项都具有长度单位，即表示某一高度， 所以可以用一几何图形表示各项之间的关系，如图所示： 图中流线同时也代表流线上各点距基准线上的位置高度，称为位置水头；P/ρg项指在任意点z处由压力作用水头上升的高度，称为压力水头；顶部水平线与P/ρg项之差代表由速度作用水头上升的高度（v2/2g），表示z点处流体的速度v垂直向上喷射时所能达到的射程高度，称为速度水头。 伯努利方程中，位置水头、压力水头和速度水头三项之和称为总水头。 由图可见，尽管各点位置1、2的两种水头各不相等，但每处的三项之和为一常数，即总水平线为平行于基准线的水平线。 伯努利方程的物理意义及几何意义 物理意义：运动状态单位重量理想流体所携带的总能量在它所流经的路径上的任何位置均保持不变，但三种能量可相互转换。 几何意义：总水头线是平行于基准线的水平线。 5.2伯努利方程的应用Applications of Bernoulli’s Equation 导出伯努利方程的限制条件是： 无粘性流动； 稳定流动； 不可压缩流体； 沿一根流线。 在实际管道系统中，不可能获得这样的流体条件，但在缓变流的情况下，伯努利方程仍能较准确地确定管道流体流动的能量平衡关系。 所谓缓变流，是指流场内各流线之间的夹角很小；如果流场转向，各流线也能一致地转向，转向的曲率半径又很大。 但由于伯努利方程是从流体流动体系的能量平衡角度描述流体的力学关系及运动规律，方程的物理意义明确，特别是方程具有简单的代数方程的形式，应用十分简便，所以已被人们作为涉及流体传输的动力、化工、冶金工程中广泛应用的、流体输运工艺参数设计的一个基本理论和计算工具。然而，由于工程中所涉及的实际流体都是具有粘性的，如：水、石油、和液态金属等；另一方面，实际容器和管道中流动的液体运动状态通常是十分复杂的 ，不满足伯努利方程所要求的：沿一根流线的稳定缓变流条件、流线平行、在过流截面上流速处处相等等条件。 工程上解决上述矛盾的做法是在伯努利方程中引入一定的修正项和修正系数，一方面保持伯努利方程的简洁的数学形式，另一方面用修正项/修正系数来计算由于不满足伯努利方程的应用条件，如：粘性、紊流和惯性流等，而引起的偏差。 一、在管流流动中的应用 Applications in Conduits 对于管道中流量和流速的计算，人们通