第5章节 相似矩阵及二次型.ppt

第五章 矩阵的对角化及二次型 第一节 方阵的特征值与特征向量 一.概念:1.特征值,特征向量: 2.特征方程,特征多项式,特征矩阵: 六.补充定理 定理:设 是方阵A对应于特征向量x的特征值,则: 1.对数值k,则 是矩阵kA对应于特征向量x的特征值. 2.对于正整数 ( ≥2),则 是矩阵 对应于特征向量x的特征值. 3.若A为可逆阵.则 是矩阵 对应于特征向量x的特征值. 4. 是 的特征值. 例:设三阶方阵A的三个特征值为1.2.-1, (1)求矩阵 的特征值; (2)求矩阵 的特征值; 第二节 矩阵相似于对角阵 一.矩阵相似 1.定义:设 A、B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P，使 称 B 是 A 的相似矩阵,记为A∽B 矩阵P称为相似变换矩阵 2.性质: (1)相似关系是等价关系(自反性,对称性,传递性), (2)定理4：若 A 与 B 相似，则 (1) r(A)=r(B) (2) |A|=|B| (3)A 与 B 的特征多项式相同,则 A 与 B特征值也相同。 例1.设三阶矩阵 与B相似,求 的特征值. 例2.设n阶方阵A与B相似,且 是A对应于特征值 的特征向量,证明: 为B对应于 的特征向量. 例3.判别下面矩阵能否相似于对角阵.若能相似于对角矩阵,求出P和对角阵. 例4.设三阶矩阵A的特征值 对应的特征向量为, 求A. 第三节 二次型的标准形 3.二次型与对称阵互表方法 1)已知二次型求对称阵A: A的主对角线元素 为 项系数,其它元素 为 项系数的一半. 2)已知对称阵A求二次型: 上述步骤的逆过程. 二.可逆变换化二次型为标准型 1.概念: (1)可逆线性变换: 设一组变量 与另一组变量 的变换式为 简记为x=Py,其中 , 为可逆阵,称上式为可逆线性变换. (2)合同 3.注:(1)二次型化标准型不是惟一的. (2)标准型中非平方项的个数是惟一的. 4.惯性定理: (1)定理:设秩为的二次型,经可逆线性变换化为标准型时, 正的平方项的个数p一定,负的平地方项的个数q一定. (2)概念: 正惯性指数:正的平方项数p. 负惯性指数:负的平方项数q. 符号差: p-q 第四节 正交变换化二次型为标准形 一.正交矩阵与正交变换: 1.正交矩阵: (1)定义: 若 称C为正交阵. (2)性质:①正交阵的行列式等于是或-1, ②正交阵的逆阵等于其转置阵, ③两正交阵的乘积仍是正交阵. 2.正交变换: (1)定义:设C为n阶正交阵.X,Y为n维向量,称线性变换 X=CY为正交变换. (2)性质:保持向量长度,内积,不变,因而两向量之间的夹角及正交性不变. 二.正交变换化二次型为标准形:1.实对称阵的性质: 例1：二次型 的矩阵为 二次型 的矩阵为 例2.求 的二次型 定义3：设 A 和 B 是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 C 使 ，则称矩阵 A 和 B 合同。 性质:1)A 与 B 合同,则 A 为对称阵 2)合同不改变矩阵的秩. 3)合同是方阵之间又一等价关系. B 为对称阵 2.化标准型方法: 1)定理2:任给二次型