第5章节(第1、2、3节).ppt

第五章 二次型 第一节 二次型及其矩阵 一、二次型的概念 二、二次型的矩阵 二次型的矩阵及秩 课 外 习 题 第二节 化二次型为标准形 一、用配方法化二次型为标准形 二、用初等变换化二次型为标准形 惯性定理 课 外 习 题 第三节 正定二次型 一、二次型正定性的概念 二、正定矩阵的判别法 课 外 习 题 习 题 5-2 p159 1（2），6（1） 为正定二次型 为负定二次型 例如 证明 充分性 故 称为二次型. 只含有平方项的二次型 称为二次型的标准形（或法式）． 例如 都为二次型； 为二次型的标准形. 1．用和号表示 对二次型 2．用矩阵表示 　　在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系． 解 例1 三、矩阵的合同 矩阵合同的基本性质： （1）自反性 （2）对称性 （3）传递性 习 题 5-1 p151 1（1，3），2，5 　　p 152 略 　　1.　若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形; 拉格朗日配方法的步骤 　　2.　若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换 化二次型为含有平方项的二次型，然后再 按1中方法配方. 解 例1 含有平方项 去掉配方后多出来的项 所用变换矩阵为 解 例2 由于所给二次型中无平方项，所以 再配方，得 所用变换矩阵为 　　p 154 略 证明 即 为对称矩阵. 三、用正交变换化二次型为标准形 说明 用正交变换化二次型为标准形的具体步骤 解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 例2 从而得特征值 2．求特征向量 3．将特征向量正交化 得正交向量组 4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 于是所求正交变换为 　　一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩． 　　下面我们限定所用的变换为实变换，来研究二次型的标准形所具有的性质． 四、二次型与对称矩阵的规范形