第5.3节期望﹒方差的区间估计及Excel实现.ppt

点估计有使用方便、直观等优点,但他并没有提供关于估计精度的任何信息,为此提出了未知参数的区间估计法. 例 对明年小麦的亩产量作出估计为: 即 若设X表示明年小麦亩产量,则估计结果为 P(800≤X≤1000)=80% 明年小麦亩产量八成为800-1000斤. 区间估计 第5.3节 期望、方差的区间估计及Excel实现 区间估计的定义 设总体分布中含有未知参数 ,根据来自该总体的s.r.s , 如果能够找到两个统计量 ,使得随机区间 包含 达到一定的把握,那么,便称该随机区间为未知参 数的区间估计.即 当 成立时, 称概率 为置信度或置信水平或置信系数; 称区间 是 的置信度为 的置信区间; 分别称为置信下限和置信上限. 1.单正态总体数学期望的区间估计 ① 选择包含μ的分布已知函数: ② 构造Z的 一个1-α区间: 设总体X~N(μ,σ2), X1,X2,…,Xn 为一组样本， 　(1) σ2已知,求μ的置信度为1-α置信区间 即 ③ μ的1-α置信区间: α/2 α/2 X φ(x) 1-α zα/2 P(|Z|λ)=1-α 1-α 注意：置信区间不是唯一的.对于同一个置信度,可以有不同的置信区间.置信度相同时,当然置信区间越短越好.一般来说,置信区间取成对称区间或概率对称区间. 注意 以上Z具有三个特点: (1) 样本的函数; (2) 含且仅含待估未知参数μ; (3) 其分布与待估未知参数μ无关. 可称Z为枢轴变量. 　(2)σ2未知,求μ的置信度为1-α置信区间 ①从点估计着手构造枢轴变量: ② 构造T的 一个1-α区间: ③ μ的1-α置信区间: X f(x) α/2 α/2 1-α Excel求置信区间使用CONFIDENCE函数, 其语法格式如下: CONFIDENCE(α,σ, n) = 置信下限为: CONFIDENCE(α,σ, n) 置信上限为: CONFIDENCE(α,σ, n) 例5.3.1 (135页例5.3.1) 设正态总体的方差为1, 根据取自该总体的容量为100的样本计算得到样本均值为5, 求总体均值的置信度为0.95的置信区间. 解 已知σ2=1, α=0.05,求 μ的1-α置信区间： ① 选择包含μ的分布已知函数: ② 构造Z的 一个1-α区间: ③ μ的1-α置信区间: 例5.3.2 (136页例5.3.2) 某种零件的重量服从正态分布. 现从中抽取容量为16的样本, 其观测到的重量(单位: 千克)分别为4.8, 4.7, 5.0, 5.2, 4.7, 4.9, 5.0, 5.0, 4.6, 4.7, 5.0, 5.1, 4.7,4.5, 4.9, 4.9. 需要估计零件平均重量, 求平均重量的区间估计, 置信系数是0.95. 解 未知σ2, α=0.05,求 μ的1-α置信区间: 应用t分布,需要计算 ①从点估计着手构造枢轴变量: ② 构造T的 一个1-α区间: ③ 变形得到μ的1-α置信区间: 设总体X~N(μ,σ2), X1,X2,…,Xn 为一组样本， (1) 总体均值 已知 ① 构造枢轴变量 其中 ② 取1-α置信区间为 ③ 解不等式得到σ2的1-α置信区间: 2.单正态总体方差的区间估计 X f(x) ① 构造枢轴变量: ② 构造Q的 一个1-α区间: ③ 解不等式得到σ2的1-α置信区间: α/2 α/2 1-α λ1 λ2 1-α/2 (2) 总体均值 未知 例5.3.3 (138页例5.3.3) 投资的回收利用率常常用来衡量投资的风险. 随机地调查了26个年回收利润率(%), 标准差S(%). 设回收利润率为正态分布, 求它的方差的区间估计(置信系数为0.95). 解 总体均值 未知,α=0.05,方差的区间估计. ① 构造枢轴变量: ② 构造Q的 一个1-α区间: ③ 变形得到σ2的1-α置信区间: (1) σ12, σ22已知, μ1- μ2的1-α置信区间 ① 相对μ1- μ2，构造枢轴变量: ② 构造Z的 一个1-α区间: ③ 概率恒等变形，得到μ1- μ2的1-α置信区间: 设X~N(μ1,σ12),Y~ N(μ2,σ22),从中分别抽取容量为n1,n2的样本,且两组样本独立，样本均值和样本方差分别记为 3.两个正态总体均值差的区间估