第3章_量子力学中的力学量.ppt

* 第三章 量子力学中的力学量 第4(5)节 厄米算符本征函数的正交性 则称两个函数 正交性定义 （互相）正交性 以后说明这是通常矢量正交性的自然推广 定理1：厄米算符分属不同本征值的本征函数彼此正交 定理：厄米算符的本征值是实数 定理2：若厄米算符某个本征值的存在k个不同(线性无关)本征函数，则必可从它们的线性组合中选择k个彼此正交的（本征）函数 显然k维子空间V中一定存在k个正交矢量（函数）且都是算符F的本征函数 第4(5)节 厄米算符本征函数的正交性 根据前面2个定理，我们总可适当选择厄米算符的本征函数，使它们满足正交归一性！例如 一维无限深势阱 动量算符本征函数 角动量算符本征函数 一维线性谐振子 氢原子 波函数 第5(6)节 算符与力学量的关系 前面提到，系统处于力学量算符(厄米算符)的本征函数描述的状态(本征态)，该力学量有确定值，就是本征函数对应的本征值。例如定态能量，动量本征态时的动量，角动量本征态时的角动量，等等。现在推广这个假定。先引入概念： 完全系 若厄米算符的(正交归一)本征函数集 则称该函数集构成完全系或完备集 满足 方便起见，其实只需要函数无关即可 展开系数 称为几率幅 注意展开系数满足 第5(6)节 算符与力学量的关系 测量F的结果是其本征值，一般不确定是那个本征值。因此，测量的平均值是 平均值公式 学量F的结果必定是对应算符的本征值，测量到本征值 的几率是 量子力学基本假定：力学量F对应厄米算符算符 其本征函数构成 展开系数 称为几率幅 测量F结果为 波函数塌缩为 完全系。当系统由归一化波函数 描述时，测量力 归一化了 例题 氢原子处于基态，求电子动量的几率分布 第5(6)节 算符与力学量的关系 例题 (p101 3.6题)设t=0时，粒子处于状态 求此时粒子的平均动量和平均动能 按动能算符的本征函数展开 按动量算符的本征函数展开 平均动能 平均动量 第5(6)节 算符与力学量的关系 例题 (p101 3.7题)一维运动粒子的状态是 归一化常数A=? 若粒子的能量为E,求系统的势能。 动量的几率分布函数 平均动量 平均动量 动量的几率分布函数 实际上，平均动量一看就知道为零 积分是实数！ 第5(6)节 算符与力学量的关系 平均能量 实际上，平均能量可以非常方便地计算出 例题 (p101 3.8题)一维无限深势阱（阱宽为a）中运动，若粒子的状态波函数是 求粒子能量的几率分布和能量平均值。 能量本征函数和能量本征值是 能量的几率分布 第5(6)节 算符与力学量的关系 例题 (p102 3.9题) 若氢原子处于状态 求原子能量、角动量平方及角动量z分量的可能值，相应几率和这些量的平均值 是能量、角动量平方及角动量z分量算符的共同本征函数 氢原子定态波函数 可能值 几率 平均值 角动量平方 角动量z分量 能量 第5(6)节 算符与力学量的关系 2个有用的定理 F-F定理 系统处于束缚定态，则 维里定理 系统处于束缚定态，若势能是α次齐次函数 则 由前面的定理 第5(6)节 算符与力学量的关系 由维里定理得 动量几率分布 例题 一维谐振子处于能量本征态 1)求势能的平均值。 2)求动能的平均值。3)求动量几率分布 例题 p100的3.2题 氢原子处于基态 1)求r的平均值。 2)求势能的平均值。3）最可几半径(前面已讲，略)。 4) 求动能的平均值。5)求动量几率分布(前面已讲，略)。 该题当n=0时就是p100的3.1题 由维里定理得 第6(7)节 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系 两个算符乘积一般与次序有关 定义对易式 坐标算符与动量算符的对易式 基本对易关系 同理得到坐标算符与动量算符的其它对易关系 其它(有经典对应的)物理量的对易关系可从基本对易关系导出 例如角动量算符的对易式 对易式的公式 对易 两力学量算符对易——两力学量同时有确定值的条件 不对易 定理 两个力学量算符有共同的构成完全系的本征函数集 第6(7)节 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系 第6(7)节 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系 定理 两个力学量算符有共同的构成完全系的本征函数集 若系统处于两个力学量算符的共同本征函数描述的状态 则这两个力学量同时有确定值 注意：两个力学量不对易=没有共同构成完全系的本征函数集。但它们可能有共同本征函数！ 例如， 两力学量算符对易——两力学量同时有确定值的条件 第6(7)节 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系 测不准关系 不对易情况 若2个厄米算符F,G满足对易关系 定义2个新厄米算符 定理 两个力学量算符满足