1.1.3导数的几何意义.pp心得好2014127.ppt

1.1.3导数的几何意义 回顾 ①平均变化率 函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2平均变化率为: ②割线的斜率 O A B x y Y=f(x) x1 x2 f(x1) f(x2) x2-x1=△x f(x2)-f(x1)=△y 回顾 以平均速度代替瞬时速度，然后通过求极限， 从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是: 由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是: 注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择 哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式. 回顾 P Pn o x y y=f(x) 割线 切线 T 导数的几何意义: 我们发现,当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线P Pn趋近于确定位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 问题: 割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k 有什么关系? 割线PPn的斜率: 设相对于 的增加量为 , ,则 当点Pn无限趋近于点P即Δx→0时, kn无限趋近于切线PT的斜率k. 那么当Δx→0时,割线PPn的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率. 即: 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数. P Q o x y y=f(x) 割线 切线 T 因此,函数f(x)在x=x0处的 导数就是切线PT的斜率. [“在”点P处的切线的斜率]. 注意：曲线在某点处的切线，1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解. 如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的; 如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点, 可以有多个,甚至可以无穷多个. 圆的切线定义并不适用于一般的曲线。 通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一）适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。 ; 根据导数的几何意义，在点P附近，曲线可以 用在点P处的切线近似代替 。 大多数函数曲线就一小范围来看，大致可看作直线，所以，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲” （以简单的对象刻画复杂的对象） *设切点M( ) 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P点的坐标; ②利用切线斜率的定义求出切线的斜率; ③利用点斜式求切线方程. 练:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. Q P y = x 2 +1 x y - 1 1 1 O j M D y D x 因此,切线方程为y-2=2(x-1), 即y=2x. 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出函数y=f(x)在点x0处的导数f’(x0) ②利用点斜式求切线方程. (若点不知,则先设、求出点的坐标) 请描述，比较曲线分别在 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。 在 附近呢？ 请描述，比较曲线分别在 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。 在 附近呢？ 增（减): 增（减）快慢： =切线的斜率 附近： 瞬时； 变化率 （正或负） 即：瞬时变化率（导数） （数形结合，以直代曲） 画切线 即：导数 的绝对值的大小 =切线斜率的绝对值的 大小 切线的倾斜程度 （陡峭程度） 以简单对象刻画复杂的对象 切注： (2) 曲线在 时，切线平行于x轴，曲线在 　 附近比较平坦，几乎没有升降． 　曲线在 处切线 的斜率 0 在 附近，曲线 ，函数在 　　　　　　 附近单调 　如图，切线 的倾斜程度大于切线　的 倾斜程度， 大于 上升 递增 上升 　　这说明曲线在 　附近比在　附近 得迅速．