重庆科创学院微分方程电子教案第三.1节.doc

重庆科创职业学院授课方案（教案） 课名：高等应用数学（下） 教师： 乔旭安 班级： 编写时间： 课题：6.3二阶常系数线性微分方程（一）授课时数2节教学目的及要求： 1、掌握二阶常系数线性非齐次微分方程解的性质与通解结构 2、掌握二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根， 3、掌握当与是两个不相等的实根教学重点： 1、二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根， 2、当与是两个不相等的实根教学难点：当与是两个不相等的实根教学步骤及内容 ： 一、二阶线性微分方程解的结构 形如 的方程，称为二阶线性微分方程.当时，方程(1)成为 称为二阶线性齐次微分方程，当时，方程(1)称为二阶线性非齐次微分方程。 当系数、分别为常数、时，则称方程 ???　　 为二阶常系数线性齐次微分方程，称方程 为二阶常系数线性非齐次微分方程。 旁批栏：  即满足方程,所以它是方程的解。 这个定理表明，二阶线性齐次微分方程任何两个解 的线性组合 仍是方程的解。 那么，是不是方程的通解呢？ 例1 对于二阶常系数线性齐次微分方程 容易验证：都是它的解。 由定理1 知 也是它的解。但这个解中只含有一个任意常数，显然它不是所给方程的通解。 旁批栏： 二、二阶常系数线性齐次微分方程解的性质与通解结构 定理１ 设， 是二阶常系数线性齐次微分方程的两个解，则 也是方程的解，其中是任意常数。 证 因为都是方程的解,所以问题：方程两个特解满足什么条件时， 为任意常数 才是方程的通解？ 由例1分析可知，如果方程的两个特解 之间不是常数倍的关系，那么它们线性组合得到的解 为任意常数 就必定是方程的通解。 定义 设与是定义在某区间内的两个函数，如果存在不为零的常数 或存在不全为零的常数，使得对于该区间内的一切 ，有 成立，则称函数与在该区间内线性相关，否则称与线性无关。 旁批栏：定理２ 如果函数与是二阶常系数线性齐次微分方程(3)的两个线性无关的特解，则 为任意常数 就是方程的通解。 例２验证与都是微分方程的解，并写出它的通解。 解　所给方程为二阶常系数线性齐次微分方程 对及分别求导，得 及 把它们分别代入方程左端，得 故与都是原方程的解。 常数 与是线性无关的两个特解， 由定理２得原方程的通解为 ，其中是任意常数。 旁批栏：三、 二阶常系数线性非齐次微分方程解的性质与通解结构 二阶常系数线性非齐次微分方程的一般形式 为常数 它所对应的齐次方程为 定理３ 　设是二阶常系数线性非齐次微分方程的一个特解，是方程所对应的齐次方程的通解，则 是方程的通解。 证　由于是方程的解，而是方程所对应的齐次方程的通解，所以有 及 把代入方程的左端，得 即满足方程，从而是方程的解。又因为 是方程所对应的齐次方程的通解，其中已含有两个独立的任意常数，所以中也含有两个独立的任意常数，从而它是方程的通解。 例1求二阶常系数线性非齐次微分方程的通解。 解　易验证：是所给方程的一个特解， 且所给方程对应的齐次方程的通解为 旁批栏：， 由定理３可知，是所给方程的通解。 定理 设分别是二阶常系数线性非齐次微分方程 的特解，则是微分方程 的特解，其中p，q是常数。 证 由假设有 和 把代入方程的左端，得 是方程的一个特解。 四、二阶常系数线性齐次微分方程的解法（一） 是方程的解， 把及代入方程，整理后得 因故得 称一元二次方程为二阶常系数母性齐次微分方程的特征方程。 特征方程的根为。 旁批栏：与是两个不相等的实根 于是与都是方程的解，且 常数 即与线性无关，因此方程的通解为 为任意常数　　　　　 小结： 通过对二阶常系数线性齐次微分方程解的性质与通解结构的了解，要求学生 掌握二阶常系数线性非齐次微分方程解的性质与通解结构，从而进一步掌握 二阶常系数线性齐次微分方程的解法（一） 四、作业布置： 二（1，3，5） 板 书 设 计一、二阶线性微分方程解的结构 二、二阶常系数线性齐次微分方程解的性质与通解结构 三、 二阶常系数线性非齐次微分方程解的性质与通解结构 四、二阶常系数线性齐次微分方程的解法（一） 旁批栏：