考研数学3真题2010年.doc

2010年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试卷 一、选择题(每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．) (A) 0． (B) 1． (C) 2． (D) 3． (2)设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y+p(x)y=q(x)的两个特解．若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1-μy2是对应的齐次方程的解，则 (3)设函数f(x)，g(x)具有二阶导数，且g (x)＜0，若g(x0)=a是g(x)的极值，则f(g(x))在x0取极大值的一个充分条件是 (A) f(a)＜0． (B) f(a)＞0． (C) f (a)＜0． (D) f (a)＞0． (4)，则当x充分大时有 (A) g(x)＜h(x)＜f(x)． (B)h(x)＜g(x)＜f(x)． (C) f(x)＜g(x)＜h(x)． (D)g(x)＜f(x)＜h(x)． (5)设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr，可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，β3线性表示，则下列命题正确的是 (A) 若向量组Ⅰ线性无关，则r≤s． (B) 若向量组Ⅰ线性相关，则r＞s． (C) 若向量组Ⅱ线性无关，则r≤s． (D)若向量组Ⅱ???性相关，则，r＞s. (6)设A为4阶实对称矩阵，且A2+A=0，若A的秩为3，则A与A相似于 (7)设随机变量X的分布函数 (8)设f1(x)为标准正态分布的概率密度，f2(x)为[-1，3]上的均匀分布的概率密度，若 为概率密度，则a，b应满足 (A)2a+3b=4． (B)3a+2b=4． (C)a+b=1 (D)a+b=2． 二、填空题(把答案填在题中横线上。) (9)设可导函数y=y(x)由方程______. (10)设位于曲线下方，x轴上方的无界区域为G，则G绕x轴旋转一周所得空间区域的体积为______． (11)设某商品的收益函数为R(P)，收益弹性为1+P3，其中P为价格，且R(1)=1，则R(P)=______. (12)若曲线y=x3+ax2+bx+1有拐点(-1，0)，则b=______． (13)设A，B为3阶矩阵，且|A|=3，|B|=2，|A-1+B|=2，则|A+B-1|=______． (14)若X1，X2，…，Xn，为来自正态总体N(μ,σ2)(σ＞0)的简单随机样本，记统计量，则E(T)=______． 三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) (15) (16) (17) 求函数u=xy+2yz在约束条件x2++y2+z2=10下的最大值和最小值． (18) (19) 设函数f(x)在闭区间[0，3]上连续，在开区间(0，3)内二阶可导，且 (Ⅰ)证明存在η∈(0,2)，使得f(η)=f(0)； (Ⅱ)证明存在ζ∈(0,3)，使得f (ζ)=0． (20) 已知线性方程组Ax=b存在2个不同的解． (Ⅰ)求λ，a； (Ⅱ)求方程组Ax=b的通解． (21) (22) 设二维随机变量(X，y)的概率密度为 求常数A以及条件概率密度f Y|X(y|x)． (23) 箱中装有6个球，其中红、白、黑球个数分别为1，2，3，现从箱中随机地取出2个球，记X为取出红球的个数，Y为取出白球的个数． (Ⅰ)求随机变量(X，Y)的概率分布； (Ⅱ)求Cov(X，Y)． 参考解答 一、选择题 (1) C (2) A (3) B (4) C (5) A (6) D (7) C (8) A 二、填空题 (9)-1 (10) (11) (12)3 (13)3 (14)μ2+σ2 三、解答题 (15)分析：化为指数形式，用洛比达法则及等价无穷小替换． (16)分析：被积函数展开，利用二重积分的对称性． 解：显然D关于x轴对称，且D=D1∪D2，其中 评注：二重积分的对称性的考查一直是重要测试内容． (17)分析：本题为条件极值问题，用拉格朗日乘数法. 评注：求多元函数的极值已连续几年考查，仍属基本题型。 (18)分析：对(Ⅰ)比较被积函数的大小，对(Ⅱ)用分部积分法计算积分，再用夹逼定理求极限． 评注：若一题有多问，一定要充分利用前问提供的信息． (19)分析：需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理。 证明：(Ⅰ)因f(x)在闭区间[0，2]上连续，由积分中值定理得，至少存在一点η∈(0，2)，使得 又f(x)在闭区间[2，3]上连续，从而介于f(x)在[2，3]上的最大值与最小值之间，由介值定理知，至少存在一点γ∈[2，3]，使得 f(y)=f(0)． 因此f(x)在区间[0，η]，[η，γ]上都满足罗尔中值定理条件， 于是至少存在点ζ1∈(0，η)，ζ2∈(η，γ)， 有 f(ζ1)=f(ζ2)=0， 由f(x)在[0O，3]上连续，在(0，3)内二阶可导，知f(x