线性代数历年试卷[全].doc

 PAGE - 26 - 《线性代数》教学大纲 教学内容和基本要求 行列式 理解二阶、三阶行列式的定义，熟练掌握它们的计算； 知道全排列及全排列的逆序数的定义，会计算排列的逆序数，知道对换及对换对于排列的奇偶性的影响； 了解阶行列式的定义，会用行列式的定义计算简单的阶行列式； 掌握行列式的性质，熟练掌握行列式按行、列展开公式，了解行列式的乘法定理； 掌握不很复杂的低阶行列式及简单的高阶行列式的计算； 理解Cramer法则，掌握用Cramer法则求方程组的解的方法。 矩阵 理解矩阵的概念； 理解矩阵的加法、数乘、乘法运算及矩阵的转置及相关的运算性质，熟练掌握上述运算； 理解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角阵、三角阵、对称矩阵、反对称矩阵的定义及其运算性质； 理解矩阵的可逆性的概念，掌握矩阵可逆的判别方法，掌握逆矩阵的性质； 了解伴随矩阵的概念，熟练掌握伴随矩阵的性质，掌握利用伴随矩阵计算矩阵的逆矩阵； 了解分块矩阵的运算性质，掌握简单的分块矩阵的运算规则。 矩阵的初等变换与Gauss消元法 理解矩阵的初等行变换与Gauss消元法的关系，理解矩阵的初等变换及矩阵的等价关系的概念； 了解矩阵的等价标准形的概念，理解矩阵的初等变换与矩阵的乘法间的关系； 了解可逆矩阵与初等矩阵间的关系，掌握用初等变换求逆矩阵的方法，会求简单的矩阵方程的解； 理解矩阵的秩的概念，熟练掌握矩阵的秩的求法，理解矩阵运算前后的秩之间的关系； 熟练掌握用矩阵的秩判断线性方程组的相容性及讨论解的情况的方法。 向量组的线性相关性 理解向量的概念，理解线性组合和线性表示的概念； 理解向量组的线性相关、线性无关的概念以及有关性质，掌握向量组的线性相关性的判别方法； 理解向量组的秩的概念，理解向量组的秩与矩阵的秩间的关系，熟练掌握向量组的秩的性质； 理解向量组的最大线性无关组的概念，理解向量组的最大线性无关组与向量组的秩间的关系，会求向量组的最大线性无关组； 理解齐次线性方程组有非零解的充要条件，理解齐次线性方程组的基础解系的概念，熟练掌握基础解系的求法； 理解非齐次线性方程组有解的充要条件，理解非齐次线性方程组与相应的齐次线性方程组的解之间的关系，熟练掌握非齐次线性方程组的通解的表达式的求法； 知道向量空间、子空间、向量空间的基及维数的概念，会判断向两空间的子集是否构成子空间，会求由一向量组生成的子空间及一齐次线性方程组的解空间的基及它们的维数； 知道坐标变换公式，会求两组基间的过渡矩阵。 相似矩阵和二次型 理解向量的内积、长度及正交性的概念，了解向量内积的基本性质； 理解向量空间的标准正交基的概念，熟练掌握Schimidt正交化方法； 理解正交矩阵的概念，了解正交矩阵的性质； 理解矩阵的特征值、特征向量的概念，熟练掌握矩阵的特征多项式、特征值、特征向量的求法，理解特征多项式、特征值、特征向量的性质； 理解矩阵的相似性概念，理解两矩阵相似的必要条件； 熟练掌握矩阵相似于对角阵的充要条件，并熟练掌握相应的对角阵及相似变换矩阵的求法； 熟练掌握实对称矩阵的性质，熟练掌握求正交矩阵将实对称矩阵化成对角阵的方法； 理解二次型及二次型的矩阵的概念，熟练掌握二次型的矩阵的求法； 理解可逆线性变换及二次型的标准形的概念，了解二次型的规范形的概念； 理解矩阵间的合同关系的概念； 理解二次型在正交变换下的标准形与二次型的矩阵的特征值的关系，熟练掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，掌握用可逆线性变换化二次型为标准形的方法； 理解惯性定理的结论，掌握判断实对称矩阵合同的方法； 理解正定性的概念，熟练掌握判断二次型、实对称矩阵是否正定的方法。 01-02学年第三学期线性代数期终考试试卷 一（33%）填空题（表示单位矩阵，表示零矩阵，指矩阵的转置矩阵）： 设，，则 ； ； 设矩阵，，则行列式 ； 若向量组，则当参数 时，线性相关； 矩阵的伴随矩阵=； 设矩阵及均可逆，，则 ； 分块矩阵的逆矩阵为； 设矩阵。若齐次线性方程组的解空间是2维的，则齐次线性方程组的解空间是 　　 　　维的； 与向量，均正交的一个单位向量为 ； 已知矩阵，，则当数满足条件 时，是正定的； 若n阶实对称矩阵满足，且有两个不同的特征值, 则当参数满足条件 时，矩阵是正定的； 二（12%）求矩阵方程的解，其中，。 三（12%）设3阶方阵有特征值，是其相应于特征值 的特征向量，是其相应于特征值的特征向量。 求。 若3阶实对称矩阵的特征值也是，证明：与必定相似。 四（12%）设线性方程组 问：当参数满足什么条件时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？ 当方程组有无穷