第8讲函数的应用答案.doc

PAGE  PAGE 9 第八讲 函数的应用 答案 例1、解 令，则 ＝ ＝。 因为，则，则问题转化为求二次函数，的最值，利用图像易得： 当，即时，有最小值，最小值为4。 当，即时，有最大值，最大值为845。 评注：通过整体换元，把复杂的形式转化为较简单的二次函数形式，从而使问题得以解决。 例2、分析 直接去解方程组难度较大，通过观察发现方程组的两个式子有相同的形式，则通过构造函数来完成。 解 原方程组可化为，设，则在 上是单调递增，且是奇函数，又，则有即，所以。 评注：利用函数的单调性来解方程，是竞赛中常用的解题技巧。 例3、解 设，则，代入原式得，即，有。考察函数，易知函数在定义域范围内是减函数，又因为，所以，即，故。因此不等式的整数解为。 评注： 本题通过换元将原不等式转化为的形式，再通过函数的单调性求得共解。这种方法在求有关指数和对数不等式时常用。 例4、分析 所要证明的式子等介于证明，由此结构联想到二次函数的判别式，则构造函数，下面只要证明函数恒为非负。 证明 作二次函数，则由条件得： ，配方得： ，即有对任意的R，，所以，即。故不等式成立。 评注：在证明过程中，充分体现了“1”的妙用，另外本题的配方技巧较高，望同学细细体会。 例5、解 设函数，则根据题意和函数的图像得： ，当且仅当时取到等号。另有 ，当且仅当时到到等号。所以的取值范围为。 评注：在求范围时，我们把，，分别看作一个整体来处理，如先求的范围，再算，这样往往会把范围扩大。 例6、解 因为在时取得最小值，设函数 。（1）由条件代入上式得，，所以 。 （2）由上知，则把代入条件③，得对任意实数都成立，分别令和，有，由此求得。 评注： 条件中，由于是一个未知的任意多项式，通常考虑的方法有两种：（1）取为一些特殊的多项式；（2）使的值为零，从而使条件中的不再发生“作用”。本题中就是令和，使条件成为与无关，从而求得。 例7、解 （1）由题意得，则或。即函数的不动点为－1，3。 （2）要使函数恒有两个相异的不动点，即满足 ，则，整理得对任意的恒??立。即，解得。 （3）由题意设，，则，。所以直线方程为，又的中点在直线上，又由韦达定理得 。即，当且仅当时取等号，即，故的最小值为。 评注：本题巧妙的利用了不动点的几何性质，得到直线的方程为，再由韦达定理求出了的解析式，进而用均值不等式求出最值。 例8、解 设｜DA｜＝（千米），铁路每吨千米运费为3，公路每吨千米运费为5，从B到C的总运费为，则依题意得 即，令，则有， 两边平方整理得 。由 得，又因为，所以。将代入方程，解得。此时为最小，相应的也取到最小值。即D点选在距A点15千米处，此时运费最少。 例9、解 （1）根据函数的图像得 （2）设第二次服药时在第一次服药后小时，则，解得＝3（小时），因而第二次服药应在10：00。设第三次服药进在第一次服药后小时，此时血液中含药量应为两次服药后的含药量之和，即有 解得＝7小时，即第三次服药应在14：00。设第四次服药时在第一次服药后小时，则此时第一次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次之和，即有 解得小时，故第四次服药应在 17：30。所以12小时内服药四次，时间分别为：7：00，10：00，14：00，17：30，这样疗效最佳。 评注：利用函数的知识解实际问题，这是一个重点，它的一般解题步骤为： ①审题 弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； ②建模 将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； ③解模 求解数学模型，得出数学结论； ④还原 将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义。 例10、证明 记，，则，且是偶函数，奇函数，对任意的R，，。 令，， ，，其中为任意整数。容易验证是偶函数，且对任意的R，， 。 下证对任意的R，有。当时，显然成立； 当时，因为，而 ，故对任意的R，。 下证对任意的R，有。当时，显然成立；当时，，所以，而此时，故；当时， －，故，又，从而有 。 于是，对任意的R，有。综上所述，结论得证。 1．C．解析：作出函数的草图，看直线与该图像的交点个数。确定的取值范围为。 2．B．解析：令，则，把选项分别代入，易知选B。 3．D．设1998年人均食品消费元，则2002年人均食品支出，则2002年人均消费支出，解得。所以 。 4．B．解析：因为，所以时，有最小值，当，时，有最大值7。 5．B．解析：根据对数的取值范围要求，，而由等式左边又知必须满足且，从而，因此可知，所以。 6．28．解析：设，则，故 （为常数），则＝ 7．。解析：因为 ，所以当时取到最小。 8．2998.5．易知，由于，，所以 。 9．2006．解析：由，则 ，所以在时为减函数，则