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第6课时　几何概型与互斥事件(对应学生用书143～144页) (文科对应学生用书139～140页) 考情分析 考点新知 几何概型往往要通过一定的手段才能转化到几何度量值的计算上来，在解决问题时要善于根据问题的具体情况进行转化．对于比较复杂的概率问题，可利用其对立事件求解，或分解成若干小事件利用互斥事件的概率加法公式求解． ①了解几何概型的意义，并能正确应用几何概型的概率计算公式解决问题． ②了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． ③了解两个互斥事件的概率加法公式. 1. (必修3P103练习1改编)某人午休醒来，发觉表停了，他打开收音机想收听电台整点报时，则他等待的时间短于5分钟的概率为________． 答案：eq \f(1,12) 解析：等待的时间小于5分钟即在55～60分钟，∴P＝eq \f(5,60)＝eq \f(1,12). 2. (必修3P108习题1改编)口袋内装有一些大小相同的红球、黄球和蓝球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出黄球的概率是0.28.若红球有21个，则蓝球有________个． 答案：15 解析：根据对立事件的概率计算公式得“摸出蓝球”的概率为1－0.42－0.28＝0.3，口袋内装有红球、黄球和蓝球的总数为eq \f(21,0.42)＝50，则蓝球有50×0.3＝15个． 3. (必修3P112复习题8改编)用计算机随机产生的有序二元数组(x，y)，满足－1x1，－1y1.对每个有序二元数组(x，y)，用计算机计算x2＋y2的值，记A为事件“x2＋y21”，则事件A发生的概率为________． 答案：1－eq \f(π,4) 解析：S圆＝π，S正方形＝(2)2＝4，由几何概型概率计算公式可得P(A)＝1－eq \f(S圆,S正)＝1－eq \f(π,4). 4. (2011·南通市调研卷)若射手甲射击一次，命中9环以上(含9环)的概率为0.5，命中8环的概率为0.2，命中7环的概率为0.1，则甲射击一次，命中6环以下(含6环)的概率为________． 答案：0.2 解析：P＝1－0.5－0.2－0.1＝0.2. 5. (2011·南京市模拟卷)在水平放置的长为5m的木杆上挂一盏灯，则悬挂点与木杆两端距离都大于2m的概率是________． 答案：eq \f(1,5) 解析：这是一个几何概型，其概率就是相应的线段CD、AB的长度的比值，∴P＝eq \f(1,5). 1. 几何概型的定义 对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型． 2. 概率计算公式 在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部的一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝eq \f(d的测度,D的测度). 3. 不能同时发生的两个事件称为互斥事件． 4. 如果事件A、B互斥，则事件A＋B发生的概率等于事件A、B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)． 题型1　几何概型的概率公式 例1　设有一个正方形网格，其中每个最小正方形的边长都为5cm.现用直径为2cm的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线有公共点的概率． 解：记“硬币落下后与格线有公共点”为基本事件A，设共有n2(n∈N*)个边长为5cm的正方形，如图所示；当硬币的圆心落在正方形A1B1C1D1与ABCD之间的带形区域内部时，事件A发生．因为AB＝5cm，硬币半径为1cm，所以A1B1＝3cm.又因为共有n2个正方形，所以区域D＝n2×52＝25n2(cm2)，区域d＝n2×(52－32)＝16n2(cm2)，所以P(A)＝eq \f(d,D)＝eq \f(16n2,25n2)＝eq \f(16,25). 答：硬币落下后与格线有公共点的概率为eq \f(16,25). eq \a\vs4\al(变式训练) 平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径ra的硬币任意掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率为________． 答案：eq \f(a－r,a) 解析：本题的测度是长度，由对称性知，硬币的圆心区域Ω的长度为a，硬币不与任何一条平行线相碰时圆心区域A的长度为a－r，故P＝eq \f(a－r,a). 题型2　古典概型与几何概型的区别与联系 例2　设不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0≤x≤6,0≤y≤0))表示的区域为A，不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\