数学竞赛训练题-四..doc

数学竞赛训练题四 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．设函数如果那么的值等于（ ） A．3 B．7 C．-3 D．-7 2．已知P为四面体S-ABC的侧面SBC内的一个动点，且点P与顶点S的距离等于点P到底面ABC的距离，那么在侧面SBC内，动点P的轨迹是某曲线的一部分，则该曲线是（ ） A．圆或椭圆 B．椭圆或双曲线 C．双曲线或抛物线 D．抛物线或椭圆 3．给定数列{xn}，x1=1，且xn+1=，则=（ ） A，1 B．-1 C．2+ D．-2+ 4．已知，定义，则（　　　　） A． B． C． D． 5．已知双曲线的右焦点为F,右准线为,一直线交双曲线两支于P、Q两点，交于R,则　　（　　　　） A． B． C． D． 6．在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1)，且，都是方程logx=logb(4x-4)的根，则△ABC（ ） A．是等腰三角形，但不是直角三角形 B．是直角三角形，但不是等腰三角形 C．是等腰直角三角形 D．不是等腰三角形，也不是直角三角形 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7．若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则|x|-|y|的最小值是_________. 8．如果：（1）a, b, c, d都属于{1, 2, 3, 4} （2）a≠b, b≠c, c≠d, d≠a （3）a是a, b, c, d中的最小数 那么，可以组成的不同的四位数abcd的个数是________. 9．设则关于的方程的所有实数解之和为 10．若对|x|≤1的一切x，t+1(t2-4)x恒成立，则t的取值范围是_______________. 11．边长为整数且面积（的数值）等于周长的直角三角形的个数为 。 12．对每一实数对(x, y)，函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若f(-2)=-2，试求满足f(a)=a的所有整数a=__________. 三、解答题（每小题20分，共60分） 13．已知a, b, c∈R+，且满足≥(a+b)2+(a+b+4c)2，求k的最小值。 14．已知半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线的距离为2，Q是上一动点，⊙Q与⊙P相外切，⊙Q交于M、N两点，对于任意直径MN，平面上恒有一定点A，使得∠MAN为定值。求∠MAN的度数。 15． 数列定义如下：，且当时， 已知，求正整数n． 数学竞赛训练题四答案 一、选择题 1．设函数如果那么的值等于（ ） A．3 B．7 C．-3 D．-7 解：取，而当，所以，故选C. 2．已知P为四面体S-ABC的侧面SBC内的一个动点，且点P与顶点S的距离等于点P到底面ABC的距离，那么在侧面SBC内，动点P的轨迹是某曲线的一部分，则该曲线是（ ） A．圆或椭圆 B．椭圆或双曲线 C．双曲线或抛物线 D．抛物线或椭圆 解：把问题转化成动点P到S的距离与它到边BC的距离比值问题，容易的出答案D 3．给定数列{xn}，x1=1，且xn+1=，则=（ ） A，1 B．-1 C．2+ D．-2+ 解：xn+1=，令xn=tanαn，∴xn+1=tan(αn+), ∴xn+6=xn, x1=1，x2=2+, x3=-2-, x4=-1, x5=-2+, x6=2-, x7=1，……，∴有。故选A。 4．已知，定义，则（　　　　） A． B． C． D． 解：计算 可知是最小正周期为６的函数。即得，所以＝，故选C. 5．已知双曲线的右焦点为F,右准线为,一直线交双曲线两支于P、Q两点，交于R,则　　（　　　　） A． B． C． D． 解：分别做由相似三角形的性质，得，又有双曲线的第二定义，得故平分所以选C. 6．在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1)，且，都是方程logx=logb(4x-4)的根，则△ABC（ ） A．是等腰三角形，但不是直角三角形 B．是直角三角形，但不是等腰三角形 C．是等腰直角三角形 D．不是等腰三