教学比赛教案——董建强.docVIP

《高等代数》课程 ——基变换与坐标变换 董建强 教学目的： 1.了解、掌握同一线性空间中不同基之间的代数转换关系 2.了解、掌握线性空间中向量在不同基下的坐标变换关系 3.了解过渡矩阵的概念并掌握过渡矩阵的求解 4.学会运用过渡矩阵对向量在不同基下的坐标进行转换或求解 教学内容： 重点：1.线性空间中的基变换 2.向量在不同基下的坐标变换 3.过渡矩阵的计算 难点：1.过渡矩阵的求解 教学过程： 一、复习、引入 （一）复习 1、问：上节课我们主要学习的是什么？ 答：学生回答（个人或集体） 总结回顾：好，在上一节课堂中，我们主要学习了线性空间上基、维数及其向量的坐标等相关知识 2、问：那么什么是线性空间上的基、维数和向量的坐标呢？ 答：学生回答（个人或集体） 总结回顾：线性空间V的一组基，就是指在V中一组向量,使得这组向量满足两个条件：1) 向量组是线性无关的. 2) ，向量均可由向量组线性表出，即一组数使得。 其中，满足上述条件的线性无关向量组所含向量的个数，即线性空间基所含向量的个数，称为线性空间的维数；上述中数称为向量在基下的坐标且唯一，记为。 （二）引入 另外，由前面所学的有关基、维数与坐标，我们还可得知以下两个主要结论：1)线性空间的基并不唯一，换句话说，只要是线性空间V上的任意一组极大线性无关组均可以作为此线性空间V的一组基，即在一个n维线性空间中，任意n个线性无关的向量都可以作为此空间的一组基。而由基的定义，我们很容易知道同一线性空间中不同基之间是可以相互表示的，也就是说是等价的，那么线性空间中不同基之间到底存在着怎样的关系呢？这种关系能否利用我们的代数关系给出呢？这就是我们今天我探讨的第一个问题——基变换问题。 2)同样的，由线性空间上向量的坐标形式或定义可知，向量的坐标是在某一组基下所做的，换句话说，是与线性空间中的基有着一定的关系，是由这组基下线性表出的一组系数所构成的。那么，这也就意味着同一向量在不同的基下坐标往往是不同的，由第一问题可知，若同一空间中不同基之间存在着一定的关系，那么向量在不同基下的坐标之间是否也存在一定的关系呢？若存在，它又是怎样随着线性空间中基的变化而变化呢？这就是我们今天我探讨的第二个问题——坐标变换问题。 下面我们首先来探讨第一个问题——基变换 二、新课讲解 （一）基变换 为了书写上的方便，这里我们以数域P上的n维线性空间为例，来探讨、寻找不同基之间到底有着怎样的关系？ 设数域P上的线性空间V满足：且为两组线性无关的向量，即n维线性空间V的两组基。由线性空间基的定义可知，对于，均可由这组基线性表出，即使得 因为且为V的一组基 所以，对于每一个均，使得: 即： （1） 注1：在这里为了书写的方便，我们引入一种形式的写法，即把向量 写成 （2） 也就是把基写成一个的矩阵，把向量在这组基下的坐标写成一个的矩阵，从而把向量看作是这两个矩阵的乘积。 注2：这种写法是“形式的”，以向量作为矩阵的元素，一般来说没有意义，但这种形式并不会影响我们的计算。 这样的话，（1）式就可以写成 （3） 记矩阵A为 这样我们就找到了同一线性空间中两组不同基之间的代数关系式，如式（1）、（3）所示。并称矩阵A为线性空间V中由基到基的过渡矩阵，且由式（1）、（3）可知，矩阵A中的元素是由向量在基下的坐标按列排列而成的，另外，由（3）还可知，矩阵A是可逆的，换句话说，过渡矩阵是可逆的。 注3：过渡矩阵强调的是从哪一组基到哪一组基，方向不同，矩阵不同，如若强调的是由基到基的过渡矩阵，则此时就变为了 为此，我们就解决了第一个问题——基变换问题，得知同一线性空间中不同基之间是通过过渡矩阵来建立联系的。下面我们来看两个例子，来寻找或写出同一线性空间中两组不同基之间的过渡矩阵。 例1：设n维线性空间中，存在两组基分别为： 求由基到基的过渡矩阵A? 分析:易知上述基为线性空间上的一组单位标准正交基，那么对于，向量在这组基下的坐标就是其向量本身。 解：因为基为线性空间上的一组单位标准正交基，且知在这组基下，对于，这组基下的坐标就是其向量本身。 所以 即： 故由基到基的过渡矩阵 注4：在这个例子中，过渡矩阵A实质上是由基向量按列排列而成的 思考1：是否同一n维线性空间中的所有基，与形如上述例1中的单位基之间都存在类似上述的关系呢？即，由单位基到这组基之间的过渡矩阵是由这组基的基向量按列排列而成？ 思考2：由基到基的过渡矩阵又是什么呢？ 例2：在线性空间中，设有如下两组基 求由基到基的过渡矩阵 分析：不妨设由基到基的过渡矩