“高等代数”行列式.pptVIP

第三章 行列式;能够作出数学发现的人，是具有感受数学中的秩序、和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人，而且只限于这种人。 ――庞加莱(Poincare，1854－1921) 一个数学家，如果他不在某种程度上成为一个诗人，那么他就永远不可能成为一个完美的数学家。 －－外尔斯特拉斯（Weierstrass，1815－1897）;3.1 线性方程组和行列式;3.1.1 二阶、三阶行列式的计算(对角线法则);三阶行列式;3.1.2 行列式在线性方程组中的应用;这里 ;3.2 排列;3.2.1 排列、反序与对换 ;数码（显然 ;3.2.2 奇、偶排列的定义及性质 ;而通过一系列对换可以由 ;我们比较这两个排列的反序数.显然经过这个对换后,属于A或B的数码的位置没有改变,因此这些数码所构成的反序数没有改变.同时i，j与A或B中的数码所构成的反序数也没有改变。若在给定的排 ; 现在来看一般的情形。假定i与j之间有s个数码，我们用 ;定理3.2.3 在n个数码(n1)的所有n！个排列，其中奇偶排列各占一半.即各为 ;3.3 n阶行列式;3.3.1 n阶行列式的定义;考察位于(1)的不同的行与不同的列上的n个元素的乘积.这种乘积可以写成下面的形式:;定义2 用符号;例1 我们看一个四阶行列式 ;转置;引理3.3.1 从n阶行列式的 ;;3.3.2 行列式的性质;命题3.3.3 交换一个行列式的两行（或两列），行列式改变符号。;;推论3.3.4 如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么这个行列式等于零。;;推论3.3.7 如果行列式的某一行（列）的元素全部是零，那么这个行列式等于零。;命题3.3.9 如果将行列式中的某一行（列）的每 一个元素都写成两个数的和，则此行列式可以写 成 两个行列式的和，这两个行列式分别以这两个数为所在行（列）对应位置的元素，其它位置的元素与原行列式相同。即如果 ;;命题3.3.10 将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以数k 后加于另一行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变。 ; 的第i行与第j列成比例； ;例2 计算行列式 ;例3 计算n阶行列式 ;根据推论３.３.６,提出第一行的公因子n－１,得;练习选讲：;3.4 子式和代数余子式 行列式依行(列)展开;3.4.1．余子式与代数余子式;定义2 n (n1)阶行列式 ;;定理3.4.1 若在一个n阶行列式 ;我们要证明： ;此处 是2，3，…，n这n－１个数码的一个排列，我们看项（1）与元素 的乘积;另一方面，乘积（2）在 的符号就是（1） 在 中的符号。乘积（1）在元素既然位在D的 第2，3，…，n行与在第 列，因此它位在 的第1，2，…，n－１行与列，所以（1）在 中的符号应该是 。显然， ，这样，乘积（2）在 中的符号与在D中的符号一致。所以; 我们变动行列式D的行列，使 位于第一行 与第一列，并且保持 的余子式不变。 为了达到这一目的，我们把D的第i行依次与第 i－1， i－2，…，2，1行交换，这样，一共经过了 i－1次交换两行的步骤，我们就把D的第i行换到第一行的位置。然后再把第j列依次与第j－1，j－2，…，2，1列交换，一共经过了j－1次交换两列的步骤， 就被交换到第一行与第一列的位置上，这时，D变为下面形式的行列式：; 是由D经过（i－1）+(j－1)次换行换列的步骤而得到的。由命题3.3.3，交换行列式的两行或两列，行列式改变符号，因此;3.4.2行列式的依行依列展开;也就是说，把D的第i行的每一元素写成n项的和。根据命题3.3.9，D等于n个行列式的和： ;定理3.4.3 n阶行列式 的某一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积的和等于零, 即 ; 的第i行与第j行完全相同，所以 =0。另一方面， 与D仅有第j行不同，因此 的第j行的元素的代数余子式与D的第j行的对应元素的代数余子式相同, 把 依第j行展开，得;例4 计算四阶行列式;根据定理3.4.1 ;例5 计算n阶行列式;这里的第一个n－1阶行列式与 有相同的形式，把它们记作 ；第二个n－1阶行列式 等于