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2011年大学数学竞赛试题(数学类试卷).pdf
2011 年最新大学生数学竞赛试题(专业类)
命题人:西西 丘成桐数学竞赛群: 105746749
注意:第一,四、五每题共两个小题,选一小题作答即可,第七题选两小题作答即可
一、(15 分)1.1)对迭代序列 xn+1 = f (xn ) = xn + cos( | xn | ), n = 0,1,2,??,证明:
(1):对任意的初始值 x0 ∈ R,{xn }收敛
* * * n
(2) 记 lim xn = x ,存在常数C 0,使得 | xn ? x |≤ C | f (x ) |
n→∞
(1.2)设 an ,bn ≥ 0, 满足
? n 4 n+5 1
? an + 3an + bn =1+
n ,证明: {a },{b }收敛并求极限。
? 1 n n
?n b n+2 + 4a + 3b = 4 ?
? n n n n
二、(10 分)设U 是实内积空间,{u1 ,u2 ,u3 ,u4 }是U中的一组向量,其Gram矩阵为G
= u ,u = A A,其中
(( i j ))1≤i, j≤4
?1 4 5 3?
? ?
?1 1 ?1 3?
A =
?1 7 11 9?
? ?
? ?
?1 0 ? 3 1?
试求{u1 ,u2 ,u3 ,u4 }的极大无关组以及由这一极大无关组通过Gram ? Schmidt 正交化
方法得到的标准正交向量组
三、(10分)设A, B ∈ M n (C),A的全体特征值为λ1,λ2,??,λn,B的全体特征值为u1
u2 ,??,un ,线性映射?:M n (C) → M n (C)定义为?(X ) = AX ? XB;
(1) : 证明:?的所有特征值都包含在集合{λi ? u j | 1 ≤ i, j ≤ n}中。
(2):?的全体特征值恰为λi ? u j ,1 ≤ i, j ≤ n
四、(15分)(1):求与下列3条直线同时相交的直线所构成的曲面:
? x =1 ? x +1 = 0 x ? 2 y +1 z + 2
L1 : ? L2 : ? L3 : = =
?z = y ?z + y = 0 ? 3 4 5
(2):设二阶柱面过点(1,0,?1)和(2,0,2),对称轴为x = ? y = z,两个对称面为
x + 2y + z = 0和x = z,求该柱面的方程
? ∞ 1 ? ? +∞ 2 t ?
五、(15分)(1)求 lim ? lim dx ? + lim ? a e?a(t +1?cos t) dt ?
? ∫0 a n ? ∫?∞
a→+∞? n→∞ (1+ x ) ? a→+∞? sinht ?
π n
? 1 1 ?
? a(cos t?1) ? ? x + 2 ? 2 ?
(2) : 求 lim ? a 4 e costdt ? + lim? n ? ? (1? x ) 2 dx ?
a→ +∞? ∫0
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