实验六迭代.doc

西 北 师 范 大 学 （数学与统计学院） 数 学 实 验 报 告 专业：数学与应用数学 班级：2010级数学与应用数学4班 学号：201071010365 姓名：冶 小 娟 日期：2013年6月25日 指导老师：张 贵 仓 实验六 迭代 1、初步了解迭代的概念，明确迭代思想在数学研究中的地位； 2、通过实验，由Mathematica 4.0软件演示运用迭代思想进行方程求解的具体过程，亲身体验迭代算法在计算机及数学学科中的重要地位； 3、在学习和运用迭代法求解问题时，了解各种具体迭代方法在解决问题的收敛速度上的异同； 4、进一步熟悉Mathematica4.0软件的使用，复习Mathematica在数学作图、计算中的应用； 5、通过上机来增强自己的动手能力及实践创新能力。 实验目的 实验环境 学校机房，Mathematica4.0软件 实验原理与方法 1、Mathematica中常用的函数及函数调用的方法： 函数的迭代法思想： 给定迭代函数以及一个初值利用（1）迭代得到数列,n=0,1,2…，如果数列收敛与某个，则有 即是方程的解.由此启发我们用如下的方法求方程的近似解. 将方程改写为等价的方程 然后选取一初值利用（1）做迭代.迭代数列收敛的极限就是方程的解. 3、对迭代的概念、特点及方法的掌握，利用迭代思想求方程的解。 2、对线性方程组的解的理论及矩阵理论的掌握和应用； 实验内容与步骤 一、给定实数域上的实值函数以及初值定义函数列 （1） 称为的一个迭代序列. 迭代法 函数的迭代是数学研究中的一个非常重要的思想工具，哪怕是对一个相当简单的函数进行迭代，都可以产生异常复杂的行为，并由此而衍生了一些崭新的学科分支，如分行与混沌.同时，迭代在各种数值计算算法以及其它学科领域的诸多算法中处于核心的地位. 本实验的基本理论是分形几何学.分形几何把自然形态看作是具有无限嵌套层次的精细结构，并且在不同尺度下保持某种相似的属性，于是在在简单的过程中可以得到描述复杂的自然形态的有效方法.本实验的基本方法是简单的迭代。 2、线性方程组的解的理论及矩阵理论: 给定一个n元线性方程组 , （2） 或写成矩阵的形式 （3） 其中是n阶方阵， 及均为n阶列向量. 熟知，当矩阵A的行列式非零时，以上的方程组的唯一解.如何有效，快速地寻求大型的线性方程组的数值解释科学工程计算中非常重要的任务.而迭代法常常是求解这些问题的有效方法之一. 用迭代法求解线性方程组的思想与上一小节介绍的方程求根的方法是类似的.假设我们可以将方程组改写成 （4） 其中是n阶矩阵，是n阶列向量.任意给定初始向量，由迭 确定向量序列，n=1,2,….如果收敛到向量，则有 （5） 即是方程组得解. 练习1：设 ，并且给定初值 ，做10次迭代得到序列 ， 程序运行如下： 实验结果分析：从上述实验结果可知，迭代序列是收敛的。对于非线性情况，问题要复杂些。由于非线性方程的解不止一个，迭代序列的极限时否收敛以及收敛到哪一个解不仅与方程有关而且与初值的选取有关。并且使得迭代序列收敛并尽快收敛到方程的某一解的条件是迭代函数在解的附近的导数的绝对值尽量小。 练习2：利用迭代公式 得到的迭代序列，其中，. 程序运行如下： 实验结果分析：从上述实验可观察到与上述的迭代方法比较，利用此公式改进的迭代公式求方程的根，它的收敛速度比以前的更快。 练习3：对给定的矩阵，数组和初始向量，由迭代公式得到的迭代序列如下： 实验结果分析：从实验中可发现，该向量序列式收敛的，利用迭代（5）的公式的条件以后，方程的解收敛的更快。 练习4：利用迭代公式 将方程组 即 改成多种等价形式 做迭代，观察其收敛状况。 给定与， 运行结果如下： 实验结果分析：首先，与上述的实验结果相比，该实验的迭代结果也是收敛的。但收敛的速度与前面几种迭代比较，稍微慢一些。 练习5 给定与，利用迭代公式 对方程组