数学方法在物理中的应用程序.doc

PAGE  PAGE 21  PAGE \* MERGEFORMAT 21 数学方法在物理中的应用 方法概述 数学是解决物理问题的重要工具，借助数学方法可使一些复杂的物理问题显示出明显的规律性，能达到打通关卡、长驱直入地解决问题的目的．中学物理《考试大纲》中对学生应用数学方法解决物理问题的能力作出了明确的要求，要求考生有“应用数学处理物理问题”的能力．对这一能力的考查在历年高考试题中也层出不穷，如2009年高考北京理综卷第20题、宁夏理综卷第18题、江苏物理卷第15题；2008年高考四川理综卷第24题、延考区理综卷第25题、上海物理卷第23题、北京理综卷第24题等． 所谓数学方法，就是要把客观事物的状态、关系和过程用数学语言表达出来，并进行推导、演算和分析，以形成对问题的判断、解释和预测．可以说，任何物理问题的分析、处理过程，都是数学方法的运用过程．本专题中所指的数学方法，都是一些特殊、典型的方法，常用的有极值法、几何法、图象法、数学归纳推理法、微元法、等差(比)数列求和法等． 一、极值法 数学中求极值的方法很多，物理极值问题中常用的极值法有：三角函数极值法、二次函数极值法、一元二次方程的判别式法等． 1．利用三角函数求极值 y＝acos θ＋bsin θ ＝eq \r(a2＋b2)(eq \f(a,\r(a2＋b2))cos θ＋eq \f(b,\r(a2＋b2))sin θ) 令sin φ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，cos φ＝eq \f(b,\r(a2＋b2)) 则有：y＝eq \r(a2＋b2)(sin φcos θ＋cos φsin θ) ＝eq \r(a2＋b2)sin (φ＋θ) 所以当φ＋θ＝eq \f(π,2)时，y有最大值，且ymax＝eq \r(a2＋b2)． 2．利用二次函数求极值 二次函数：y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋eq \f(b,a)x＋eq \f(b2,4a2))＋c－eq \f(b2,4a)＝a(x＋eq \f(b,2a))2＋eq \f(4ac－b2,4a)(其中a、b、c为实常数)，当x＝－eq \f(b,2a) 时，有极值ym＝eq \f(4ac－b2,4a)(若二次项系数a0，y有极小值；若a0，y有极大值)． 3．均值不等式 对于两个大于零的变量a、b，???其和a＋b为一定值p，则当a＝b时，其积ab取得极大值 eq \f(p2,4)；对于三个大于零的变量a、b、c，若其和a＋b＋c为一定值q，则当a＝b＝c时，其积abc取得极大值 eq \f(q3,27)． 二、几何法 利用几何方法求解物理问题时，常用到的有“对称点的性质”、“两点间直线距离最短”、“直角三角形中斜边大于直角边”以及“全等、相似三角形的特性”等相关知识，如：带电粒子在有界磁场中的运动类问题，物体的变力分析时经常要用到相似三角形法、作图法等．与圆有关的几何知识在力学部分和电学部分的解题中均有应用，尤其在带电粒子在匀强磁场中做圆周运动类问题中应用最多，此类问题的难点往往在圆心与半径的确定上，确定方法有以下几种． 1．依切线的性质确定．从已给的圆弧上找两条不平行的切线和对应的切点，过切点作切线的垂线，两条垂线的交点为圆心，圆心与切点的连线为半径． 2．依垂径定理(垂直于弦的直径平分该弦，且平分弦所对的弧)和相交弦定理(如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项)确定．如图8－1所示． 图8－1 由EB2＝CE·ED ＝CE·(2R－CE) 得：R＝eq \f(EB2,2CE)＋eq \f(CE,2) 也可由勾股定理得： R2＝(R－CE)2＋EB2 解得：R＝eq \f(EB2,2CE)＋eq \f(CE,2)． 以上两种求半径的方法常用于求解“带电粒子在匀强磁场中的运动”这类习题中． 三、图象法 中学物理中一些比较抽象的习题常较难求解，若能与数学图形相结合，再恰当地引入物理图象，则可变抽象为形象，突破难点、疑点，使解题过程大大简化．图象法是历年高考的热点，因而在复习中要密切关注图象，掌握图象的识别、绘制等方法． 1．物理图象的分类 整个高中教材中有很多不同类型的图象，按图形形状的不同可分为以下几类． (1)直线型：如匀速直线运动的s－t图象、匀变速直线运动的v－t 图象、定值电阻的U－I图象等． (2)正弦曲线型：如简谐振动的x－t图象、简谐波的y－x 图象、正弦式交变电流的e－t图象、正弦式振荡电流的i－t 图象及电荷量的q－t 图象等． (3)其他型：如共振曲线的A－f图象、分子力与分子间距离的f－r图象等． 下面我