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数列 数列的概念 按照一定的顺序排列的一列数称数列，数列中的每一个数叫做这个数的项,排在在第一位的数称为这个数的第一项，也叫首项。 数列的一般形式可以写成a1，a2,a3,…an,…其中an是数列的第n项，我们把上面的数简记为{ an }。 如果数列{ an }的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即an=f（n） 如果已知数列{ an }的第一项（或前几项），且任何一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即an=f（an-1）或an=f（an-1，an-2），那么这个式子叫做数列{ an }的递推公式。 数列的前n项和及通项的关系 Sn=a1+a2+a3+。。。+an an= S1(n=1) Sn-Sn-1(n≥2) 2，数列的分类 按项数分类①有穷数列：项数有限 ②无穷数列：项数无限 （2）按项与项之间的大小关系分类：①递增数列：an+1an ② 递减数列：an+1an ③ 常数数列：an+1=an ④摆动数列:有些项满足an+1≥an ，有些项满足an+1≤an（其中n∈N*) 3，根据数列的通项公式判定数列的单调性 已知an=f（n），若f（x）的单调性可以确定，则{ an }的单调性也可以确定。 比较法 作差比较法 n∈N*, an+1- an=0，则{ an }为常数列 an+1- an0，则{ an }为递增数列 an+1- an0，则{ an }为递减数列 对各项同号的数列，可作商比较 n∈N*, an0（0），an+1/an=1，则{ an }为常数列 an+1/an1（an+1/an1），则{ an }为递增数列 an+1/an1（an+1/an1），则{ an }为递减数列 已知数列的递推公式，求该数列的通项公式的常用方法。 （1）求出该数列的前若干项，归纳，猜想出它的通项公式。 （2）对于常见的简单的递推公式，可以采用迭代法或迭加法，累乘法求其通项公式。 ①形如“an+1=an+f（n）”的递推公式，可以采用迭加法，即由递推公式可得 a2= a1+f（1） a3= a2+f（2） a4= a3+f（3） 。。。 an= an-1+f（n-1） 将上述各式相加得an= a1+f（1）+f（2）+。。。+f（n-1） ② 形如“an+1=anf（n）”的递推公式，一般采用累加乘法，即由递推公式可得 a2= a1f（1） a3= a2f（2） a4= a3f（3） 。。。 an= an-1f（n-1） 以上各式相乘得an= a1f（1）f（2）。。。f（n-1） ③形如“an+1=Aan+B”的递推公式，可以采用构造法，换元法求得通项公式，即由已知的递推公式得 an+1-B/(1-A)=A(an-B/(1-A)) 设bn=an-B/(1-A),则得bn+1=Abn，一下可以利用②的方法求出bn，从而求得an ④斐波那契数列：一个数列中，从第3项起，每一项都是前相邻两项之和，即a1=1， a2=1，a3=2。。。an=an-1+an-2（n≥3）。 由数列的前若干项求数列的通项公式 把数列的项看作项数的函数，这个函数的解析式即数列的通项公式an=f（n），因此，问题在于探求n经过怎样的算法得到an。 应了解常见的简单数列的通项公式，如： 1,2,3,4..... an=n 2,4,6,8.... an=2n 1,3,5,7..... an=2n-1 1,4,9,16,... an=n2 1,8,27,64... an=n3 -1,1,-1,1,... an=（-1）n 1,-1,1,-1... an=（-1）n+1 1，0，1，0... an=[1-（-1）n]/2 0，1，0,1... an=[1+（-1）n]/2 观察分析法 先对已知项的多方面进行观察分析，如符号特征，绝对值特征，公式的分子，分母的独立特征，分子，分母的关系特征，相邻项的变换特征，相邻项的比，差的特征等，再通过类比，猜想，归纳等方法进行尝试，调整，最后得以化归，具体的方法有： ①联想比较法。如：由-1,2，-3,4，-5....联想到数列-1,1，-1,1...及数列1,2,3,4,5...,可得an=n（-1）n 由3,6,11,18,27，...联想到数列1.4,9