解三角形的实际应用问题.doc

PAGE  PAGE 10 解三角形的实际应用问题 东格致中学 许颖 教学目标：1．通过实际问题，巩固正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用。 2．培养学生运用所学的知识，建立数学模型，解决实际问题的能力。 3．培养学生的数学应用能力和创造能力。 教学重点：建立数学模型，解决实际问题。 教学难点：如何将实际问题转化为数学问题。 教学内容： 一、复习 已知△ABC的三个内角A，B，C对应的三边长分别为a，b，c， 则正弦定理：（其中R为?ABC外接圆的半径） 余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB c2=a2+b2-2abcosC 二、引入 人们在日常生活中，有时候需要测量一个无法攀登的物体的高度，又不可能一直走到要测量的物体的下面；或是要测量中间隔着障碍物的两物体之间的距离；或是在航行过程中为达到某一目的要确定航向等等。很多的问题都要借助三角形来解决。因此，三角函数是在解决实际问题的过程中发展起来的，同时，它又大量应用于实际问题之中。 三、实际问题 问题1：河的对岸有一建筑物AB，一人位于河的另一侧，手中有一个测角器和一 个测量长度的皮尺，请你设计一种测量方案（不允许过河），并给出计算 建筑物AB高度的公式。 准备工作：（1）我们可以通过构造几何图形，测量其中的一些边的长度和角的大 小，来计算我们需要的边长。当然三角形是最简单的构图。 （2）在设计时要注意实际测量的可行性和最简性。 （3）在这里，我们忽略测量仪器本身的高度。 （分组讨论，请同学上讲台讲解设计的方案） B A C D β ? 方案1：在河的一边取两点C、D，使C、D与建筑物 底部的中心在同一直线上，侧得CD=a， ∠BCA=a，∠BDA=b，设AB=x，则AC与 AD都能用x表示，由AD-AC=a，可求得x 解：设AB=x，则在Rt?BAC中，AC=AB?ctg?， AD=AB?ctg?，AC-AD=(ctg?-ctg?)x=a， ∴x=。 （此方案学生最容易想到，计算也最方便，但要指出此方法在测量上有一定的难度，要保证A、C、D三点共线。如果在对岸任意方向上定一条线，测出它的长度，能否计算出AB的高度？） B A C D ? ? ? 方案2：在河的一边取两点C、D，但C、D的延长线 不过A点，测得CD=a，∠ACD=a，∠ADC=b, ∠ACB=g，先求出AC，再求AB。 解：在?ACD中，由正弦定理得 ， 又在Rt?BAC中，AB=AC?tg?＝ （由于C D边方向的任意性，CD与A B不共面，因此构成一个空间图形，较简单的