解析函数展开成罗朗级数的方法分析.doc

解析函数展开成罗朗级数的方法分析 摘 要　本文给出解析函数展开成罗朗级数的两类方法（即直接展开法和间接展开法）的分析．通过分析可见，由于直接法要求函数的各阶导数，显然困难，繁杂．因此，我们常采用间接法． 关键词　双边幂级数；罗朗级数；直接展开；间接展开 １　定义及定理 定义：级数 (1) (2) 当且仅当时，（1）及（2）有公共的收敛区域即圆环H：r|z－a|R．称级数（1）与（2）之和为双边幂级数．可表示为 　　 (3) 其中Cn（n=0,±1,…）为复常数，称为双边幂级数的系数 由以上定义、阿贝尔定理及幂级数和的解析性可得 定理：设双边幂级数(3)的收敛圆环为，则 (1) (3)在H内绝对收敛且内闭一致收敛于： ． (2) 在H内解析．　　　 (3) 在H内可逐项求导p次(p=1，2，…)． (4) 函数可沿H内曲???C逐项积分． 前面指出了双边幂级数在其收敛圆环内表一解析函数，反过来有 罗朗定理： 在圆环内解析的函数必可展成双边幂级数： 　 　　　　　　 (4) 其中 　　（ n=0,±1,…） 　　 (5) 为圆周，并且展式是惟一的（即由f(z)及H惟一地决定系数） 定义：(4)称为函数在点a的罗朗展式，(5)称为其系数，而(4)右边的级数则称为罗朗级数． 2 方法分析 要将一个解析函数展成罗朗级数，需要考虑的问题要比展为泰勒级数要多．首先罗朗级数是在圆环域内的奇点a展开的，它的系数为： 可见，一个函数在不同的圆环域内有不同的罗朗展式，因此给定一个函数后，首先是找出它的奇点，进而要确定函数可以在哪个圆环域内展为罗朗级数．然后是找到展开的方式，即直接展开法和间接展开法． 2.1　直接展开法 即：依据罗朗定理的系数公式，（n=0，±1，±2，…）先求出系数，然后再写出． 例1 　在0| z |+∞内，将展为罗朗级数． 解：　在复平面上除点在z0=0外，发处处解析，所以f(z)在圆环域0| z |+∞内解析．取c为圆周，则 ， （n=0，±1，±2，…） 而当时，在上解析，；当时，由高阶导数公式，有 即 于是，得 2.2 间接展开法 根据函数展开为双边幂级数的唯一性，通过利用已知的一些初等函数的泰勒展开式来展开，在展开函数为罗朗级数时，仍然以泰勒级数为基础，常用方法如下： 2.2.1 用公式（|z|1）． 要将函数展开，关键在于将变形，使表示式中出现因式，且.这里的取定还跟圆环域的中心与半径有关． 例2 求的罗朗级数． 解： 函数有两个奇点z=0和1，从而可以在4个圆环域；；和(a1正数)内展为罗朗级数． ① 在内，有 ＝ 　　　　　　　　　＝； ②　在内，有 　　　　　　　　　＝ 　　　　　　　　　＝; ③　在内，因为，所以有 　　　　　　　　　＝ 　　　　　　　　　＝; ④　在(a1正数)内，有 　　　　　　　　　＝ 　　　　　　　　　＝－ 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 ＝ 2.2.2 代换法 即在已知函数展开式中，通过代换因式得到新的罗朗级数． 例3 求函数在去心领域的罗朗级数． 解：在内 　　　　　　　　 例4 求函数在圆环域内展为罗朗级数． 解： 因为在内解析，所以在圆环域内，有 ， 亦可写为 令，即得：在内，有 2.2.3　部分分式法 当发为有理分式函数时，先分解为部分分式，然后展为罗朗级数． 例5 求函数在圆环域和内的罗朗级数展开式． 解：因为，所以 ① 在内，有 ② 在内，有 2.2.4 微分方程法 利用被展开函数的导数与函数的关系，建立微分方程，通过解微分方程求得函数的各阶导数值，进而写出函数的洛朗级数展开式．一般适用于不易找到合适展开式可以利用，而函数导数有保留原来函数因式的情形．如的情形． 例6 在点的去心领域内，将函数展成罗朗级数． 解：令，得．而是此函数的解析点，记此函数简记为，于是 ， ， ， ， ， ，