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数值分析习题解答4
第四章 数值积分方法与数值微分 (习 题)
1．直接验证梯形公式（1.2）与中矩形公式（1.3）具有1次代数精度，而辛甫生公式（1.4）则具有3次代数精度.
解
梯形公式： .
矩形公式： .
以上两求积公式以 代入公式两边，结果相等，而以
代入公式两边，其结果不相等.故梯形公式的代数精度等于1.
Simpson公式：
.
容易验证：以分别代入Simpson公式两边，结果相等。
以代入
左边=
右边=
=
Simpson公式两边，结果相等。而以代入Simpson公式两边，其结果
不相等。故Simpson求积公式的代数精度为3. □
3．对于的数值积分公式，其中为对在进行插值的2次多项式.证明：.
证明： 为于进行插值的二次多项式，则：
其中： .
求积分公式误差
,
其中： , . □
4．证明 中矩形公式的Peano核误差公式为：
,
其中
并由此导出误差形式
.
解 已知中矩形公式对于一次多项式精确成立，由Taylor展开：
.
又：
. □
5. 求系数，使求积公式
对于次数的一切多项式都是精确成立的.
解：求积公式
是一个插值型求积公式，令 得：
，
解得： ， ，
12. 确定参数使求积公式的代数精度尽可能地高
(*)
解 令： ， 得：
,
,
对、精确成立.
当 时， ， 时， ， 时，，
故：当取 时，（*）具有3次代精确度. □
13 假定求积公式
对于，精确成立，试求
解： 由
，
可得： ，
故： . □
14. 建立Gauss型求积公式：.
解： 令：
， 和
代入 得：
，
，
， 0-+
□
16. 求数值微分公式的余项.
.
解：于 ， ，三点作的Lagrange插值多项式：
.
.
令 ，得：
余项：因为
有
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