芝诺悖论漫谈.doc

PAGE  PAGE 6 芝诺悖论漫谈 　　我在初中学习反比例函数的时侯，对函数图像和Ｘ轴“无限接近却永无交点”这件事很是不解。两个物体，就拿手中的两支笔为例，既然在相触之前可以“无限地接近”，那么这个接近的过程就应该是“永远无法完成的”，但它们最终还是碰到了一起了。它们是如何从“无限接近”的状态一下子就碰到一起了？　　我想一定有很多人有过我这样的困惑。然而我那时认为这也只是胡思乱想罢了，所以当时把它忽略了。 　　其实，早在古希腊时期，哲学家芝诺就提出了和这类似的问题。当然，他的问题完全是另一种陈述方式，这就是我们下面要讨论的芝诺悖论：　　一位飞毛腿名叫阿基里斯（是传说中的跑神）。有一天他和一只乌龟赛跑，阿基里斯的速度是乌龟速度的１０倍。阿基里斯的起跑线设在乌龟身后十米处，他们同时同向开跑。芝诺预言，阿基里斯追不上这只乌龟。为什么呢？芝诺的理由是这样：比赛开始时，乌龟在阿基里斯前方十米；当阿基里斯跑完这十米，乌龟向前跑了一米；当阿基里斯跑完这一米之后，乌龟又向前跑了0.1米，阿基里斯跑0.1米，乌龟向前跑0.01米，……如此下去，每当阿基里斯经过一段时间追赶后跑到乌龟所在地的时候，乌龟在这段时间又向前跑了另一段距离。这个过程要经过无限步骤，因此阿基里斯追不上乌龟。这是芝诺的第一个悖论。（在我小时候被人追逐的时候，我也这样想过！）　　我们把乌龟作为参照物，就可以得到这样一个表述：一物体P要从A点移动到B点。它要首先从A点移动到AB的中点C1，然后再从C点移动到AC1中点C2，到C2之后又要移动到AC2中点C3，……这样每到一个Cn之后又都有Cn+1等在前方。这个过程是无限的，因此P永远也到不了终点B。如果把B点看成任意的，那就意味着P不能从A点移动到任何一点，因此P的运动是不可能的。　　事实上，我们把这一列点的顺序倒过来，就得到芝诺的另一个悖论：运动不可能。因为P从A点出发要移动到B，那它首先要移到AB终点C1，要移动到C1，又要首先移动到AC1中点C2，……这样，P要从A移动到Cn必须先移动到ACn的中点Cn+1，这个要求是无穷的。因此，P不可能动起来。 　　但是以我们的经验，我们明明看到，只要时间足够长，走得快的物体一定能追上走得慢的物体；而且世界上的物体都是运动的。这与芝诺推理的结果不符。也就是说，芝诺的推理过程中一定犯了什么错误。那么，他到底犯了什么错误呢？ 　　对芝诺悖论的不同理解，导致不同层次的反驳。 　　有人只从经验层次理解芝诺悖论，以自己或其它物体运动的事实来反驳芝诺悖论。他会一边走一边说：“看，我不是在运动吗？”这种反驳当然是最没有力度的。芝诺悖论之所以称为悖论，就因为它是用似乎无懈可击的推理过程得到了一个与事实相违背的结论。谁都知道芝诺是错误的，但关键的问题是要从逻辑的角度找到它到底错在哪，或者指出他的推理过程有问题，或者指出他所用的逻辑前提有问题。　　学过极限或微积分理论的人可能都知道有这样一个反驳：在悖论一中，虽然阿基里斯追赶乌龟的这段路程有无限个小路段，但是这些小路段的长度越来越小，阿基里斯跑过这些小路段所用的时间也越来越短。如果阿基里斯一秒跑10米，那么他跑过第一段路就用1秒；第二段路用0.1秒；第三段路用0.01秒，……，这些时间小段加起来也不过1.111…(1循环)=10/9秒。也就是说，阿基里斯将在起跑后10/9秒时追上乌龟。同理可应用到第二悖论中。这样反驳的人显然是认为，芝诺所说的“追不上”是指“追赶的过程要花无穷长的时间”，芝诺之所以断言“追不上”是因为他不懂得无限个数的和仍可以是有限数。 　　这个解释可以用来向人展示极限理论的威力，但依然没有触及芝诺悖论的本质，而且具有很强的迷惑性。我高中时接触到这个解释之后很长一段时间内都认为这就是解决芝诺悖论的最佳途径。当时在物理上还有一道题：一个弹性小球从一米高的地方落下，第一次弹起上升到0.5米，以后每次弹起高度是前一次的一半，问小球经过多长时间静止在地面，小球运动的总路程长是多少。这也是用极限论得到答案的，因为1+2*(1/2+1/4+1/8+…)=3，所以小球总共运动3米，同理运动时间也会是个确定的数，当时间走过这个确定的数，小球不可能在运动，那它一定是静止在地面上。然而，我们早有这样一个结论：一尺之棰，日取其半，万世不竭。意思是长度为一尺的木棍，第一天取半尺，第二天取剩下的一半，即四分之一尺，第三天再取剩下的一半八分之一，等等。这样取千万年也不能把这根木棍取完。因为这个过程步骤是无限的。但是，同样是无限步骤，为什么有些能完成，有些不能完成呢？原因是后者把无限步骤分配到等长的时间段里，造成时间段之和不收敛，而前者的无限个时间段和是收敛的。 　　这样看来，只要把无穷个时间段之和压缩到有限，那么无穷步骤就是可以完成的了？