多项式最大公因式性质定理及求解方法.docVIP

PAGE  PAGE 13 多项式最大公因式性质定理及求解方法 作者：xxx 指导教师：xxx 　　摘 要 对多项式最大公因式理论中的重要性质定理进行总结归纳及对其中一个性质定理的结构进行进一步的研究，以及研究最大公因式的几种求解方法：因式分解法；辗转相除法；矩阵的初等变换法． 关键词 公因式 最大公因式 辗转相除法 初等变换 最大公因式是多项式理论的核心概念，最大公因式的性质在多项式理论的研究中具有关键作用，本文将分三个方面阐述这些内容：首先总结归纳最大公因式的性质定理；其次对其中的一个重要性质定理作进一步的研究；最后将对最大公因式的求解方法：因式分解法、辗转相除法、矩阵的初等变换法进行研究． 本文所考虑的多项式均为数域上的一元多项式环内的多项式． §1．最大公因式的定义及性质 首先我们给出最大公因式的定义： 定义1：设是多项式与的一个公因式，若是能被与的每一个公因式整除，那么叫做与的一个最大公因式．以表示与在中最高项系数为1的最大公因式． 例1．如果，那么是和的最大公因式． 证明：按定义1．有是与的一个公因式， 设是和的任一公因式，则有： ， 所以按定义，有是与的最大公因式． 为研究多项式最大公因式的性质定理下面将给出一个引理： 引理1：如果多项式是多项式和的公因式，和是上的两个任意多项式，那么一定是多项式的因式． 证明：因为是的因式， 所以 可设 ， ，其中，． 又因为 ． 所以 是的因式． 　　注：应用引理1有时可以方便的求两个多项式的最大公因式． 例2：求和的最大公因式． 解：由上面的引理可知：所求的最大公因式一定是： 的因式， 又因为 ，，可知所求的最大公因式就是． 定理1:设，，其中，则有 ． 　　注：定理1的结论可以形象的叙述为： . 证明：设是和的最大公因式，那么根据引理１得：也是的因式，从而是和的公因式；其次，设是和的任一公因式，那么由引理１得：是的因式，所以是的因式.因此, 是和的公因式,从而可知能够整除；所以是和的最大公因式． 根据引理１和定理１不难得到： 定理２：如果和不全是零多项式，那么和一定有最大公因式，并且和的最大公因式，除了一个零次多项式的因式差别之外是唯一确定的． 具体证明过程可参阅[1] 、[2]． 两个多项式的最大公因式存在的一条非常重要的性质： 定理３：若是的多项式和的公因式，则以下命题等价： （i）为和的一个最大公因式； （ii）在里存在多项式与使. 证明：由(i)推(ii): 若，那么，这时中任何两个多项式都可以取作与． 若与不都等于零，不妨假定，用辗转相除法来求（，）.用去除应用带余除法，得商式及余式．如果0，那么再以除，得商式及余式．如果0，再以除，得商式及余式如此继续下去，因为余式的次数在带余除法中每次降低，所以作了有限次这种除法后，必然得出这样一个余式，使得，于是我们得到一串等式： ， ， ， ……………………………… (1) ， ， ． 则 就是与的一个最大公因式，考察等式组（1）的倒数第二个等式，得 ， 令 ，，那么上面的等式可以写成 : ． （3） 由（1）的倒数第三个等式，得 ． 把的这个表达式带入(3)中， 并令 ，，所以有 ． 如此继续利用（1）中的等式，最后可得到 ． 但与的最大公因式等于中不为零的数与的积： ， 因此 取，，即得所证． 由(ii)推(i): 设是与的任一公因式，则，，由引理1得h(x)是的因式，即．又因为是与的公因式，所以是与的一个最大公因式． 若，则称多项式与互素． 与定理3类似的还有下面一条重要的定理： 定理4 ：在中，设，，且与不全为零，则是与的最大公因式． 证明： 充分性：如果，则由多项式互素的判定定理有，存在，使， 则 等式两边同时乘以，得 , 由命题条件，知是与的公因式，结合上式同时有 ， 所以，由定理3得是与的一个最大公因式． 必要性：若是与的一个最大公因式，则由定理3得，存在，使 ． 因为 ，，所以代进上式变为 ， 又因为，不全为零，所以，可用除等式两边，得 ， 所以 1是与的公因式，