多项式的零点高中和奥数讲义.docVIP

第十讲 多项式的零点 一、多项式的零点和性质 1、多项式函数定义： 设则，即对每个，由对应了一个属于D的值，称为D上的多项式函数。 2、多项式的零点定义： 如果D中的数使=0，则称是的零点，或的根。 3、性质： 1）（因式定理） 设，则是的零点的充分必要条件是被 整除。即：| 2）推论 设，是的不同的零点，则被整除。即：| 例4 给定2n个互不相同的复数，将它们按下列规则填入n×n方格表中：第i行和第j列相交处的方格内填(i,j=1,…,n). 证明：若各列数的乘积相等，则各行数的乘积也相等. 分析：由题意规则得以下n×n方格表 …………………令g(x)=()()…() 当,i=1,…,n 是的根， 也是的根 因此设 令： ()()…() =()()…() =… =()()…() =C 证明：设各列数的乘积等于C，考虑多项式 由已知条件得 (i=1,…,n) 是的零点 因为是互不相等的， n次多项式有n个不同的根 由性质推论可得： 被整除 即：| 又因为的首项系数为1 所以 = = 令 (i=1,…,n) 所以 因此各行数的乘积也相等 二、模为素数的同余方程 1、同余方程定义： 设是一个整系数多项式，p为一个素数，称  eq \o\ac(○,1) 为同余方程，如果整数满足，则是模p的一个零点或是同余方程 eq \o\ac(○,1)的一个解。 2、拉格朗日定理： 设是整系数多项式，模p的次数为n,则同余方程 eq \o\ac(○,1)至多有n个互不相同的解。 3、推论： 设是整系数多项式，p是素数，且np,如果同余方程 eq \o\ac(○,1)至少有n+1个互不相同的解，则模p恒为零，即所有系数 (i=1,…,n)均被p整除 4、费马小定理： 当p为素数时，对任意的，，有 或 5、威尔逊定理： 若p为素数，则 例5 用推论及费马小定理证明威尔逊定理 证明：设p是素数，要证 当p=2时， 显然成立 当p3时，考虑p-2次多项式 只需证明同余方程有n-1个不同的根，就能运用推论证得结论。 1是同余方???的一个根 由费马小定理得 2是同余方程的一个跟 … 同理可得 与P互素的模p值都是同余方程的根 因此，同余方程的根为 共p-1个根 那么由推论得的系数都被p整除， 特别地，常数项也被p整除，p-1是偶数 因此 推广：此外还能顺便证明1,2,…，p-1的和，两两乘积之和也能被p整除