动力系统建模选编.ppt

动力系统建模唐 云（清华大学数学科学系）ytang@math.tsinghua.edu.cn;引言 1。动力系统的基本概念与方法：从蝴蝶泉到蝴蝶效应 2。机械与电力系统中的数学模型 3。生命科学的数学建模 4。分形模型 ;引言;从蝴蝶泉到蝴蝶效应1.1 蝴蝶的生态问题;;; 令人惋惜的是，近十数年，人们已经很难看到美丽的蝴蝶盛会，有时，虽有蝴蝶聚集，但数量已少。据当地父老传言：蝴蝶泉边，原有一蓬枝叶茂密、开白花、发清香的茨蓬，花枝缠在横斜泉面的树干上，蝴蝶沿着这些下垂的花枝连成串。如今，茨蓬已除，泉面树干叶枯，加上周围自然环境受到破坏，田野大量使用农药，误伤不少蝴蝶，那连须钩足悬于泉面的奇观，久已不见。;1.2 数学模型: Logistic映射;f(x)= ax(1- x)， x 在[0,1]内变化;Logistic映射分岔图;关于吸引子; ■ 当0a 1时，由于; ;;; 当c*a4时，Logistic映射进入混沌区域.反映出;; 任取(0,1)中的点x0,可以通过作图来取得迭代;;■ 1a3 从(0,1)中任何初值出发的轨道趋向不动点 (周期1点); ;■61/2+1a 3任何初值出发的轨道趋向周期4点 ;■ a=3.58轨道进入浑沌状态;■ a= 4 轨道的浑沌性表现充分; 蛛网迭代的优点是轨道非常直观形象.缺点是当周期数较大时不易看清轨道变化细节 密度分布图：;■ 密度图：横轴为区间 [0,1], 纵轴为概率 p.每个小区间上的细柱线的高度等于该区间上密度;■ a=3.45;■ a=3.55; 以上密度图显示在 0ac*的情况下,{xn}只有极少数落在周期点以外的小区间,而最终以几乎相等的概率落在周期点所在的小区间。; (最混沌状态);Logistic模型的混沌自相似（分形）;1.3 关于“蝴蝶效应”; Lorenz 方程;Lorenz 吸引子;对初值条件的敏感依赖性;所谓“蝴蝶效应”是指：;巴西的一只蝴蝶扇动翅膀会引起明年在得克萨斯的大风暴吗？E. Lorenz?? ; 数学的伟大使命在于从混沌中;关于混沌;混沌出现在各个领域的一种现象:数学、物理、 ;2. 机械和电力系统的数学模型2.1 动力学模型;非线性振动;Duffing 方程;位移x;位移x; 耗散系统相体积的演化;其证明用到 过去教材都是代入保守体系的正则方程。实际上，对一力学体系，如果除保守力外还含非保守力，则正则方程应写为 其中 代表非保守力，代入前式后得出， 积分马上得到 ;容易证明，对保守力 对非保守力（如 ） 对高维耗散系统，自然导出指数形式 形式 其中 （i=1～f）可正可负总和为正。 ;极限环与分岔;，点是稳定定态（焦点） ;分岔;摆长为l ，小球质量为m的单摆，相对与平衡的下垂位置的角位移为θ，重力加速度为g ，则其运动方程为： (1) 或 (2) 等式右边是周期性的驱动力，其角频率为。把方程式无量纲化，用去除每一项，将无量纲的时间叫做t ，即得 (3) 式中 都是无量纲化的。 ;旋转数;Henon-Heiles 星体势模型;粒子真实轨迹;激励转子;;;2.3 关于电力系统的数学模型;重大停电事故;北美东部大停电;;　　这两张卫星照片分别显示了美国和加拿大部分地区当地时间8月13日晚9时21分（左），及14日9时03分的夜间光亮强度，从中可以看出停电前后这一地区的夜间照明情况的差异。美国东部时间１４日下午，美国东北部和加拿大部分地区发生大面积停电，波及美加两国的许多城市，给当地交通、通信和居民的生活造成严重影响。纽约市目前已有８５％的地区恢复了电力供应。;电力系统的建模;电力系统的数学模型;微分代数方程;关