概率論与数理统计第四章.pptVIP

概率论与数理统计;;随机变量及其分布能够完整地描述随机变量的统计规律。但在一些实际问题中，这样的全面描述有时并不方便。比如要比较两个品种的母鸡的年产蛋量，通常只需比较它们的年产蛋量的平均值就可以。这时若不比较平均值，而只看它们的分布律，虽然全面却使人难以掌握又不能迅速地作出判断。再比如比较不同班级的学习成绩，比较不同地区的粮食收成。;因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的。其中最常用的数字特征是;§4.1 数学期望 ;若统计100天, ;可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27。;这是 以频率为权的加权平均;;例 4.3;例 4.4;解：;;二、几个重要随机变量的期望;3. 泊松分布;5. 指数分布;6. 正态分布N(?, ?2);;定理1 若 X~P{X=xk}=pk, k=1,2,…，若∑g(xk)pk绝对收敛，则Y=g(X)的期望E(g(X))为;;; 定理2 若X～f(x), -?x?，若;;;1. E(c)=c,c为常数; 2. E(cX)=cE(X), c为常数;;;;;;例4.10 若X~b(n, p), 求E(X)。;; 作业 P113：2、5、8、11、14; ;;又如, 甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹, 其落点距目标的位置如图：;;若X的取值比较分散,则D(X)较大。;;;;;;;;;;;;思考： 已知随机变量X1, X2, …, Xn相互独立，且每个Xi的期望都是0，方差都是1， 令Y= X1+X2+…+Xn ， 求E(Y2)。;说明1：服从正态分布N(?, ?2)的随机变量X，它的两个参数? 和? 分别是 X 的数学期望和均方差。因而正态分布完全可由它的数学期望和方差所确定。;;;;;注：;已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标准差为0.1元，求a，使股价超过1+a元或低于1-a元的概率小于10%。; 作业 P116：21、22、36; 若X和Y相互独立，则 E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=0。 若此式不等于0，则X与Y不独立，而是存在着某种关系。 ;§4.3 协方差及相关系数一、协方差定义与性质;;3. 协方差性质 (1) Cov(X, Y)=Cov(Y, X)； (2) Cov(X, X)=D(X)， Cov(X, c)=0； (3) Cov(aX, bY)= abCov(X, Y)， 其中a, b为 常数； (4) Cov(X+Y, Z)=Cov(X, Z)+Cov(Y, Z)； (5) 若X,Y相互独立，则Cov(X, Y)=0； (6) D(X±Y)=D(X)+D(Y) ± 2Cov(X, Y)。; 协方差的大小在一定程度上反映了X 和Y相互间的关系，但它还受 X与Y 本身度量单位的影响。 ;;2. 相关系数的性质 (1) |?XY| ? 1； (2) |?XY|=1 ? 存在常数a, b 使P{Y= a+bX}=1。 ;;;;;;;;例4.17 设(X, Y) ～N（μ1， μ2，σ1 2，σ2 2 ，ρ），则ρXY = ρ。 可见，若(X, Y)服从二维正态分布，则X与Y独立的充分必要条件是X与Y不相关。 ;;;;小结：;;二、协方差矩阵;1. 定义 设X1, … , Xn 为n个随机变量，记 cij =Cov (Xi, Xj), i, j=1, 2, …, n。则称由cij 组成的矩阵 为随机变量 X1，… , Xn的协方差矩阵C。即;三、n维正态分布的概率密度;2. n维情形;3. n维正态随机变量X1, X2,…, Xn的性质;六种常用随机变量的期望与方差