概率論与数理统计第二章.pptVIP

湖南商学院信息系 数学教研室 ;第二章 随机变量及其分布;湖南商学院信息系 数学教研室 ; 一、随机变量概念的产生; 1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.;2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化. ;这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数.;（1）它随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值.;;; 有了随机变量,随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来.; 随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件. 引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究.;四、随机变量的分类 ;; ; ;其??? (k=1,2, …) 满足：; ;二、表示方法;三、举例;常常表示为： ;例 4;解:;转下页;,∴ X的分布律为;(二)常见的离散型随机变量的概率分布; 200件产品中,有196件是正品,4件是次品,今从中随机地抽取一件,若规定;例6 设生男孩的概率为p,生女孩的概率为 q=1-p，令X表示随机抽查出生的4个婴儿中“男孩”的个数.;X的概率分布是：;例7 将一枚均匀骰子抛掷3次， 令X 表示3次中出现“4”点的次数; 掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点”; 这样的n次独立重复试验称作n重贝努里试验，简称贝努里试验或贝努里概型.;注: 贝努里概型对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求：;例8 某类灯泡使用时数在2000小时以上视为正品.已知有一大批这类的灯泡,其次品率是0.2.随机抽出20只灯泡做寿命试验,求这20只灯泡中恰有3只是次品的概率.; 下面我们研究二项分布B(n,p)和两点分布B(1,p)之间的一个重要关系.; 一、泊松分布的定义及图形特点;易见;解:;请看演示; 历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的 .; 由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布.;解:; 对于离散型随机变量，如果知道了它的概率分布,也就知道了该随机变量取值的概率规律. 在这个意义上，我们说;湖南商学院信息系 数学教研室; 连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间, 对这种类型的随机变量, 不能象离散型随机变量那样, 以指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率分布, 而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.;请看演示:;,使得对任意 , 有;; 故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是 X落在区间 上的概率与区间长度 之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量， f (x)相当于线密度.; 要注意的是，密度函数 f (x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率. 但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.;若不计高阶无穷小，有：;4. 连续型r.v取任一指定值的概率为0.;由此得，;（二）、随机变量的分布函数;证明: 仅证(1);设离散型随机变量X的分布律为 pk:= P{X=xk} , k=1,2,…, X的分布函数; 分布函数F(x)是一个右连续的函数,在x=xk(k=1,2…)处有跳跃值 pk=P{X=xk},如下图(图2.2.1)所示;P29,例2.2.1 X 的分布函数;连续型 r.v.的分布函数;下面我们来求一个连续型 r.v 的分布函数.;对x -1，F(x) = 0;即;(三)常见的连续型随机变量; 正态分布是应用最广泛的一种连续型分布.;你们是否见过街头的一种赌博游戏? 用一个钉板作赌具。; ; 高 尔 顿 钉 板 试 验; (I)、正态分布的定义;(II)、正态分布 的图形特点; 决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰的陡峭程度.;故f(x)以μ为对称轴，并在x=μ处达到最大值:;这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越贴近x轴。即f (x)以x轴为渐近线。 ;用求导的方法可以证明，;实例 年降雨量问题，我们用上海99年年降雨量的数据画出了频率直方图。;下面是我们用某大学大学生的身高的数据画出