概率論与数理统计期末必备复习资料.pptVIP

事件间的关系 包含关系：事件A发生必然导致B发生，记为 相等关系： ，记为A=B。 积事件：事件A与B同时发生，记为AB。 和事件：事件A或B至少有一个发生，记为 差事件：事件A发生而B不发生，记为A-B。 互斥事件：事件A、B不能同时发生，即 ，又称A、B为互不相容事件。 逆事件：“A不发生”这一事件称为A的逆事件，记为 ，A与 又称为对立事件。 事件的运算律 交换律： 结合律： 分配律： 对偶律（De Morgan德摩根律）： 减法： 概率：做n次重复试验，事件A发生的次数记为 ，当n很大时，若频率 稳定在常数P附近，则称P为随机事件A发生的概率，记作P(A)=P。 概率的公理化定义：设E是随机试验，S是样本空间，对E的每个随机事件A，赋予一个实数P(A)，若它满足： 非负性： 规范性： ，S为样本空间（必然事件） 可列可加性：若事件 中 则 则称P(A)为事件A的发生概率。 概率的性质 有限可加性：有限个两两互斥的事件 则 是A的对立事件，则 则 一 ，当A，B互斥即 时 推广： 预备知识：排列、组合 分类计数原理(加法原理)：设完成一件事有k类方法，每类分别有 种方法，则完成这件事情共有 种方法. 分步计数原理(乘法原理)：设完成一件事有k个步骤，第一步有 种方法，…,第k步有 种方法，则完成这件事情共有 种方法. 排列：从n个不同元素中取出m个元素，按一定次序排成一列. 排列数：从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数记为 注： 组合：从n个不同元素中取出m个元素并成一组(与顺序无关). 组合数：从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，记为 等可能概型（古典概型） 定义：具有以下性质的随机试验称为等可能概型 试验的样本空间的元素只有有限个 试验中每个基本事件发生的可能性相同 等可能概型中事件概率的计算公式： n为随机试验的总的结果数，即样本点的总数，k为事件A包含的结果数。 条件概率 定义：事件A已发生的条件下事件B发生的概率，称为条件概率，记为P(B|A)。 例 将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正面的情况，设A={至少有一次为正面H}，B={两次掷出同一面}，求P(B|A) 解：样本空间S={HH,HT,TH,TT},A={HH,HT,TH}, B={HH,TT}。则可得： 　　　 P(B|A)＝1/3 条件概率的计算公式： 乘法定理：设P(A)0，则有P(AB)=P(B|A)P(A) 推广：P(AB)0，则有P(ABC)=P(C|AB)P(AB) = P(C|AB) P(B|A)P(A) 设 为n个事件 ，且 全概率公式 划分：设S为试验E的样本空间， 为E的一组事件，若 则称 为样本空间S的一个划分. 例 E：掷骰子观察点数 是S的一个划分 不是S的一个划分 全概率公式 定理：设随机试验E的样本空间为S，A为E的事件. 为S的一个划分，且 则 ，称之为全概率公式。 注：全概率公式给出我们一个用来计算在众多原因 的作用下事件A发生概率的方法. （由因得果） 贝叶斯公式（由果溯因） 设E的样本空间为S，A为E的事件. 为S的一个划分，且 ，则 为贝叶斯（Bayes）公式. 称 为先验概率； 称 为后验概率. 独立性 独立事件：两事件A、B，A发生对B发生没有影响，B发生也对A没有影响，则称两事件相互独立.即P(A|B)=P(A)且P(B|A)=P(B)，则P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B) 例 抛甲，乙两枚硬币，A={甲出现正面H}，B={乙出现正面H}，问A，B同时发生的概率. 定理 四对事件 中有一对相互独立，则另外三对也相互独立. 独立与