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概率论与数理统计 概率论与数理统计是研究随机现象 数量规律的一门学科。 第一章 概率论的基本概念 1.1 随机试验 1.2 样本空间 1.3 概率和频率 1.4 等可能概型（古典概型） 1.5 条件概率 1.6 独立性 第二章 随机变量及其分布 2.1 随机变量 2.2 离散型随机变量及其分布 2.3 随机变量的分布函数 2.4 连续型随机变量及其概率密度 2.5 随机变量的函数的分布 第三章 多维随机变量及其分布 3.1 二维随机变量 3.2 边缘分布 3.3 条件分布 3.4 相互独立的随机变量 3.5 两个随机变量的函数的分布 第四章 随机变量的数字特征 4.1 数学期望 4.2 方差 4.3 协方差及相关系数 4.4 矩、协方差矩阵 第五章 大数定律和中心极限定理 5.1 大数定律 5.2 中心极限定理 第六章 数理统计的基本概念 6.1 总体和样本 6.2 常用的分布 第七章 参数估计 7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准 7.3 区间估计 第八章 假设检验 8.1 假设检验 8.2 正态总体均值的假设检验 8.3 正态总体方差的假设检验 8.4 置信区间与假设检验之间的关系 8.5 样本容量的选取 8.6 分布拟合检验 8.7 秩和检验 第九章 方差分析及回归分析 9.1 单因素试验的方差分析 9.2 双因素试验的方差分析 9.3 一元线性回归 9.4 多元线性回归 第十章 随机过程及其统计描述 10.1 随机过程的概念 10.2 随机过程的统计描述 10.3 泊松过程及维纳过程 第十一章 马尔可夫链 11.1 马尔可夫过程及其概率分布 11.2 多步转移概率的确定 11.3 遍历性 第十二章 平稳随机过程 12.1 平稳随机过程的概念 12.2 各态历经性 12.3 相关函数的性质 12.4 平稳过程的功率谱密度 第五章 大数定律和中心极限定理 关键词： 契比雪夫不等式 大数定律 中心极限定理 §1 大数定律 背景 本章的大数定律，对第一章中提出的 “频率稳定性”，给出理论上的论证 为了证明大数定理，先介绍一个重要不等式 例1：在n重贝努里试验中，若已知每次试验事件A出 现 的概率为0.75，试利用契比雪夫不等式估计n,使 A出现的频率在0.74至0.76之间的概率不小于0.90。 随机变量序列依概率收敛的定义 大数定律的重要意义： 贝努里大数定律建立了在大量重复独立试验中事件出现频率的稳定性，正因为这种稳定性，概率的概念才有客观意义，贝努里大数定律还提供了通过试验来确定事件概率的方法，既然频率nA/n与概率p有较大偏差的可能性很小，我们便可以通过做试验确定某事件发生的频率并把它作为相应的概率估计，这种方法即是在第7章将要介绍的参数估计法，参数估计的重要理论基础之一就是大数定理。 §2 中心极限定理 背景：有许多随机变量，它们是由大量的相互独立的随机变量的 综合影响所形成的，而其中每个个别的因素作用都很小，这种 随机变量往往服从或近似服从正态分布，或者说它的极限分布 是正态分布，中心极限定理正是从数学上论证了这一现象，它 在长达两个世纪的时期内曾是概率论研究的中心课题。 例2：设某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现 随机取得16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件 的寿命的总和大于1920小时的概率。 例3：某保险公司的老年人寿保险有1万人参加，每人每年交200 元, 若老人在该年内死亡，公司付给受益人1万元。设老年人死亡 率为0.017，试求保险公司在一年内这项保险亏本的概率。 例4：设某工厂有400台同类机器，各台机器发生故障的概 率都是0.02，各台机器工作是相互独立的，试求机 器出故障的台数不小于2的概率。 第六章 数理统计的基本概念 引言：数理统计学是一门关于数据收集、整理、分析 和推断的科学。在概率论中已经知道，由于大 量的 随机试验中各种结果的出现必然呈现它的 规律 性，因而从理论上讲只要对随机现象进行 足够多次观察，各种结果的规律性一定能清楚 地呈现，但是实际上所允许的观察永远是有限 的，甚至是 少量的。 例如：若规定灯泡寿命低于1000小时者 为次 品，如何确定次品率？由于灯泡寿命试验是 破坏性试验，不可能把整批灯泡逐一检测，只 能抽取一部分灯泡作为样本进行检验，以样本 的信 息来推断总体的信息，这是数理统计学研 究的问题之一。 §1 总体和样本 总体：研究对象的全体。如一批灯泡。 个体：组成总体的每个元素。如