自动控制原理第五讲解决方案.ppt

自动控制原理;;5.1 根 轨 迹 方 程;;5.1 根轨迹方程;闭环系统的稳定性取决于闭环极点； 闭环系统的动态性能取决于闭环极点与零点； 稳态精度取决于比例系数； 闭环传递函数的极点计算比较困难。 因此，工程上重视间接研究的方法，即在给定开环传递函数的极点、零点和开环增益后，无须求出闭环传递函数的极点，便能分析闭环系统的性质。 ;5.1.2 根轨迹概念 根轨迹：指当开环增益K*从零变到无穷时，闭环特征根（即闭环极点）在s平面上的变化轨迹。 例5.1：已知某单位反馈控制系统的开环传递函数为 W(s)=K/((s+1)(s+2)),试画出该系统的根轨迹。 解： 系统的特征方程为 s2+3s+2+K=0， 特征根为 当根轨迹增益K：从0→∞时，根s1、s2的轨迹便是根轨迹。;K=0, K=1/4， s1=-1.5，s2=-1.5； 0K1/4，s1、s2均为实数， -1.5s1-1，-2s2-1.5； K1/4， s1、s2为复共轭；s1的虚部为正，s2的虚部为负；实部相同，为-1.5。;5.1.2 根轨迹方程 1 根轨迹 开环传递函数写为零、极点形式有 N(s)、D(s)分别为s的m、n次多项式， n≥m； K为根轨迹增益。（K*为开环增益） 由闭环特征方程 1+W(s)=0得 ;根轨迹方程 , k=0,±1,±2,… 幅值条件： 辐角条件： （ k=0,±1,±2,… ） ;2 讨论 根轨迹上所有点都应满足幅值条件和辐角条件。反之，所有满足幅值、辐角条件的点s都属于根轨迹。 辐角条件与系数K无关，因此s平面上所有满足辐角条件的点都属于根轨迹，即辐角条件是确定s平面根轨迹的充分必要条件。只需要使用辐角条件就可绘制根轨迹。 根轨迹上各点所对应的系数K的值可由幅值条件确定。;例5.2 开环传递函数为G0(s)=K/s(s+1)，画出根轨迹 解：开环极点为0和-1，没有开环零点。用“×”表示开环极点。 1 利用角条件确定根轨迹 角条件为 –Args-Arg(s+1)=(2k+1)π,k=0, ±1, …。 在正实轴上任取一点s1, args1=0,arg(s1+1)=0，不满足角条件。 正实轴不属于根轨迹。 ;在实轴原点与-1点之间任取一点s2， args2=π,arg(s2+1)=0，满足角条件。 实轴上原点与-1点之间的线段属于根轨迹。 ; 在-1点左边实轴上任取一点s3， args3=π，arg(s3+1)=π，不满足角条件。 -1点以左的实轴不属于根轨迹。 ; 在实轴外任取一点s4， args4=α1,arg(s4+1)=α2。 若s4位于根轨迹，应α1+α2=π即α2=α3。 因此，根轨迹上的点s4一定在垂直于实轴并与实轴交于原点至-1点线段的中点的直线上。该直线外任何点都不会满足角条件。 所以，s平面中原点至-1点线段的垂直平分线属于根轨迹。 ; 2 利用幅值条件确定系数K的值 |G0(s)|=K/|s| ·|s+1|， ∴ K=|s| ·|s+1|。 如根轨迹上点(-0.5+j0)所对应的K值为 K=|-0.5| ·|0.5|=0.25； 点(-0.5 ±j0.5)所对应的K=|-0.5±j0.5| ·|0.5 ±j0.5| =0.5。 ;5.2 绘制根轨迹的基本法则;根轨迹的起点是指当根轨迹增益K＝0时，根轨迹的位置。 闭环特征方程 1+W(s)=0，即KN(s)+D(s)=0 就是D(s)=0的根， 也就是 (s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0的根， 即p1,p2,…,pn。 根轨迹的起点就是开环极点 ;根轨迹的终点是指当根轨迹增益K→∞时根轨迹的位置。 由闭环特征方程得 N(s)+D(s)/K=0, (s-z1)…(s-zm)+(s-p1)…(s-pn)/K=0。 当K→∞, (s-z1)…(s-zm)=0 将蜕化为m次方程，n≥m，丢失方程的根 将(s-z1)…(s-zm)+(s-p1)…(s-pn)/K=0 作置换 s=1/q，;得 （1/q-z1)…(1/q-zm)+(1/q-p1)…(1/q-pn)/K=0, 两边同乘以qn得 qn-m(1-z1q)…(1-