自动控制第二章2.1(10.3.11)解决方案.ppt

第二章 控制系统的数学模型;Part 2.1.1 数学模型的定义;Part 2.1.1 数学模型的定义;一.数学模型 1.定义 描述系统内部物力量（或变量）之间关系的数学表达式即数学模型。数学模型是分析和设计自动控制系统的基础。 2.为什么要建立数学模型 从理论上对系统的系统的性能进行定量的分析和计算； 运动规律相同的控制系统可以用一个运动方程来表示； 如：机械平移系统--------RLC电路;3.表示形式 a.微分方程 b.传递函数 c.频率特性;4.建立方法 a.分析计算法 分析计算法是根据支配系统的内在运动规律以及系统的结构和参数，推导出输入量和输出量之间的数学表达式，从而建立数学模型——适用于简单的系统。 b.工程实验法 根据对系统的观察，通过测量所得到的大量输入、输出数据，推断出被研究系统的数学模型。 ; 二.线性系统 1.定义：如果系统的数学模型是线性微分方程，这样的系统就是线性系统。 线性元件：具有迭加性和齐次性的元件。 非线性元件：不具有迭加性和齐次性的元件。 若元件输入为r（t）、r1（t）、r2（t） 对应的输出为c（t）、c1（t）、c2（t） 如果r（t）=r1（t）+r2（t）时， c（t）=c1（t）+c2（t）满足迭加性 如果r（t）=a·r1（t）时， c（t）=a·c1（t） 满足齐次性 满足迭加性和齐次性的元件才是线性元件。;2.重要特点：对线性系统可以应用迭加性和齐次性，对研究带来了极大的方便。 迭加性的应用 欲求系统在几个输入信号和干扰信号同时作用下的总响应，只要对这几个外作用单独求响应，然后加起来就是总响应。 齐次性表明 当外作用的数值增大若干倍时，其响应的数值也增加若干倍。这样，我们可以采用单位典型外作用（单位阶跃、单位脉冲、单位斜坡等）对系统进行分析——简化了问题。;一.微分方程的建立 微分方程是控制系统最基本的数学模型，要研究系统的运动，必须列写系统的微分方程。一个控制系统由若干具有不同功能的元件组成，首先要根据各个元件的物理规律，列写各个元件的微分方程，得到一个微分方程组，然后消去中间变量，即得控制系统总的输入和输出的微分方程。;例1.机械平移系统 求在外力F(t)作用下，物体的运动轨迹。 ;首先确定：输入F(t),输出x(t) 其次：理论依据 1.牛顿第二定律 物体所受的合外力等于物体 质量与加速度的乘积 2.牛顿第三定律 作用力等于反作用力,现在我们单独取出m进行分析，这里不考虑重力的影响。;写微分方程时，常习惯于把输出写在方程的 左边，输入写在方程右边，而且微分的次数 由高到低排列 。 ?机械平移系统的微分方程为：;例2.RLC电路：研究在输入电压ur(t)作用下，电容上电压uc(t)的变化。;电气系统三元件;依据：电学中的基尔霍夫定律 ;这两个式子很相似，故可用电子线路来模拟 机械平移系统，这也证明了我们前面讲到的， 看似完全不同的系统，具有相同的运动规律， 可用相同的数学模型来描述。 ;建立系统微分方程式的一般步骤如下：;二、非线性方程的线性化;单摆(非线性);单摆模型(线性化);有条件存在，只在一定的工作范围内具有线性特性；;线性化方法： 在一定条件下，忽略次要因素的影响，将一些元件视为线性元件； 切线法(小偏差法）：特别适用于 具有连续变化的非线性特性函数。;设连续变化的非线性函数为y=f（x），如图2.5所示。 图2.5 小偏差线性化示意图;取某平衡状态A为工作点,对应有 。当 时，有 。设函数 在 点连续可微，则将它在该点附近用泰勒级数展开为： ;当增量 很小时，略去其高次幂项，则有: 令 则线性化方程可简记为: 略去增量符号 ，便得到函数在工作点附 近的线性化方程为y=Kx。;单变量函数泰勒级数法;多变量函数泰勒级数法; [例3] 铁心线圈电路如图2.6（a）所示，其磁通Φ与线圈中电流i之间关系如图2.6（b）所示。试