自动控制3第三章时域法解决方案.ppt

第三章 时域分析法 3-1 典型输入信号 3-2 线性定常系统的时域响应 3-3 控制系统时域响应的性能指标 3-4 一阶系统的暂态响应 3.5 二阶系统的暂态响应 3-8 线性系统的稳定性 3-9 劳斯—赫尔维茨判据 三、代数判据的应用 3-10 小参量对闭环系统性能的影响 3-11 控制系统的稳态误差一、误差及稳态误差的定义 3-11 控制系统的稳态误差一、误差及稳态误差的定义 若 则 例：特征方程式为： ，试判断稳定性。 [解]：劳斯表为： 故第一列有两次符号变化，s右半平面有两个极点， 系统不稳定 。 2）劳斯表某一行中所有的系数都为零，表明在s平面内存在大小相等但位置径向相反的根，至少要下述几种情况之一出现，如：大小相等，符号相反的一对实根；或一对共轭虚根；或对称于实轴的两对共轭复根。 大小相等符号相反的实根 共轭虚根 对称于实轴的两对共轭复根 2）劳斯表某一行中所有的系数都为零 [处理方法]可将不为零的最后一行的系数组成辅助方程，并以此辅助方程式对s求导所得方程的系数代替全零的行。 大小相等，位置径向相反的根可以通过求解辅助方程得到，而且根的数目总是偶数（辅助方程应为偶次数的）。 [例]： 1 6 8 1 6 8 辅助方程为： 求导得： 用1，3代替全零行即可。 或 因为第一列元素都大于零，所以系统是稳定的。 第一列元素都大于零，说明s右半平面没有闭环极点。但出现了全零行，表明系统有共轭虚数极点。 [例]： 辅助方程为： 此时系统是临界稳定的。 控制工程上认为是不稳定的。 系统的共轭虚数极点可由辅助方程求出。 解得： 设系统特征方程为： s4+5s3+7s2+5s+6=0 劳 斯 表 s0 s1 s2 s3 s4 5 1 7 5 6 1 1 6 6 0 1 劳斯表何时会出现零行? 2 出现零行怎么办? 3 如何求对称的根? ② 由零行的上一行构成 辅助方程: ① 有大小相等符号相反的 特征根时会出现零行 s2+1=0 对其求导得零行系数: 2s1 2 1 1 继续计算劳斯表 1 第一列全大于零,所以系统稳定 错啦!!! 劳斯表出现零行系统一定不稳定 求解辅助方程得: s1,2=±j 由综合除法可得另两个根为s3,4= -2,-3 设系统的特征方程式为： 则系统稳定的充要条件是： ，且由特征方程系数构成的赫尔维茨行列式的主子行列式全部为正。 古尔维茨行列式的构造：主对角线上的各项为特征方程的第二项系数 至最后一项系数 ，在主对角线以下各行中各项系数下标逐次减小，在主对角线以上各行中各项系数下标逐次增加。当下标大于n或小于0时，行列式中的项取0。 赫尔维茨行列式： 二、赫尔维茨判据 以4阶系统为例使用赫尔维茨判据： 赫尔维茨行列式为： 稳定的充要条件是： 判定控制系统的稳定性 例： 系统的特征方程为： ，判断系统的稳定性。 [解]：劳斯表如下： 因为 ，但劳斯表第一列不全为正，所以，系统不稳定。 由于劳斯阵第一列有两次符号变化，所以系统在s右半平面有两个极点。 分析系统参数变化对稳定性的影响 利用代数稳定性判据还可以讨论个别参数对稳定性的影响，从而求得这些参数的取值范围。若讨论的参数为开环放大系数 K，则使系统稳定的最大K 称为临界放大系数KL 。 例：已知系统的结构图，试确定系统的临界放大系数。 解：闭环传递函数为： 特征方程为： 劳斯表： 要使系统稳定，必须 ①系数皆大于0， ②劳斯阵第一列皆大于0 所以，临界放大系数 特征方程为： 确定系统的相对稳定性（稳定裕量） 利用劳斯和赫尔维茨稳定性判据确定的是系统稳定或不稳定，即绝对稳定性。在实际系统中，往往需要知道系统离临界稳定有多少裕量，这就是相对稳定性或稳定裕量问题。 确定系统的相对稳定性（稳定裕量） 利用实部最大的特征方程的根 p（若稳定的话，它离虚轴最近）和虚轴的距离 表示系统稳定裕量。 作 的垂线，若系统的极点都在该线的左边，则称该系统具有 的稳定裕度。一般说， 越大，稳定程度越高。可用 代入特征方程，得以 z 为变量的新的特征方程，用劳斯-赫尔维茨判据进行判稳。若稳定，则称系统具有 的稳定裕度。 例：系统特征方程为： 。 行全为零，以它上面的行组成辅助方程 。对辅助方程求导，用其系数代替