ソリトン系の基本パターン art 1 ath.tohoku.ac.jp.pdfVIP

1 ソリトン系の基本パターン Part 11 ソリトン系への Weyl 群の作用 (3) 黒木 玄 2003 年 10 月 18 日最終更新? (2003 年 10 月 9 日作成) 目 次 1 Weyl 群縦作用の概略 1 2 ソリトン階層との関係 3 3 戸田階層の特殊解における W , Z の意味 3 1 Weyl 群縦作用の概略 どこまで参考になるかわからないが, 古典の場合に Weyl 群の縦作用がどういうものか について説明する. ソリトン系の基本は群全体へのある群の作用を Gauss 分解を用いて下三角と上三角へ の作用に誘導することである. そこでまず G の Gauss 分解の仕方を固定する: ?1 G? × G+ ,→ G, (W, Z) 7→ X = W Z. たとえば G = GLm ならば G? は対角成分がすべて 1 であるような下三角行列のなす 群に取り, G+ は対角成分が可逆であるような上三角行列のなす群に取ることが多い. G が a?ne GLm の場合にもその類似物を考えることが多い. (ここで述べていることは単に principal gradation による Gauss 分解を考えることが多いということ.) 次に Weyl 群を G に持ち上げたものを W ? G と書くことにしよう. (W は Weyl 群 を少し拡大した群になるが diagram automorphism は含まない. W への simple re?ection 2 4 ri の持ち上げは ri = 1 を満たしていないが ri = 1 は満たしている.) W は X ∈ G に左および右からの積で自然に作用するが, その作用を Gauss 分解を経由 して, W と Z の作用に書き直したものが古典の場合の Weyl 群の作用になっている. (私 ?1 ?1 のノートの多くでは X = W Z は g = g? g+ と書かれているが, ここでは野海の教科書 に合わせて X = W ?1Z と書くことにした.) ?微修正しただけ. 2 1. Weyl 群縦作用の概略 G として a?ne GLm を取り, W の G への右からの積による作用を考えれば Noumi- Yamada の a?ne Weyl 群の作用が得られる. (W の G への左からの積を考えると別の Weyl 群作用が得られる.) 野海の教科書では Z への作用と M = ZD(2)Z?1 への作用を強調した書き方になって いる (D(2) は対角行列). 野海の教科書の