6 一张致密光盘CD音轨区域的内半径R = 2.doc

PAGE  PAGE 48 例1 路灯离地面高度为H，一个身高为h 的人，在灯下水平路面上以匀速度步行。如图3-4所示。求当人与灯的水平距离为时，他的头顶在地面上的影子移动的速度的大小。 解: 建立如右下图所示的坐标， 时刻头顶影子的坐标为，设头顶影子的坐标为，则 由图中看出有 则有 所以有 ; 例2 如右图所示，跨过滑轮C 的绳子，一端挂有重物B，另一端A被人拉着沿水平方向匀速运动，其速率 。A离地高度保持为h，h =1.5m。运动开始时，重物放在地面B0处，此时绳C在铅直位置绷紧，滑轮离地高度H = 10m，滑轮半径忽略不计，求： ??(1) 重物B上升的运动方程； ??(2) 重物B在时刻的速率和加速度； ??(3) 重物B到达C处所需的时间。 解：(1)物体在B0处时，滑轮左边绳长为l0 = H-h，当重物的位移为y时，右边绳长为 因绳长为 由上式可得重物的运动方程为 (SI) ??(2)???物B的速度和加速度为 ??(3)由知 当时，。 此题解题思路是先求运动方程，即位移与时间的函数关系，再通过微分求质点运动的速度和加速度。 例3 一质点在xy平面上运动，运动函数为x = 2t, y = 4t2-8(SI)。 ??????????(1) 求质点运动的轨道方程并画出轨道曲线； ??????????(2) 求t1=1s和t2=2s时，质点的位置、速度和加速度。 解：(1) 在运动方程中消去t，可得轨道方程为， 轨道曲线为一抛物线如右图所示。 ???????(2) 由? ?????????? ?????????? 可得: 在 t1=1s 时， ??????在 t2=2s 时, 例4 质点由静止开始作直线运动，初始加速度为a0，以后加速度均匀增加，每经过 τ 秒增加a0，求经过 t 秒后质点的速度和位移。 解：本题可以通过积分法由质点运动加速度和初始条件，求解质点的速度和位移。 由题意可知，加速度和时间的关系为: 根据直线运动加速度的定义 因为t = 0 时，v0=0，故 根据直线运动速度的定义有 因为t = 0 时，x0=0 ，则位移为 例5 (1) 对于作匀速圆周运动的质点，试求直角坐标和单位矢量 i 和 j 表示其位置矢量r, 并由此导出速度v 和加速度a 的矢量表达式。 ?????????(2) 试证明加速度a的方向指向轨道圆周的中心。 解:(1)由右图可知 ???????????????? ???????????????? 式中，，，且根据题意是常数，所以，有 ?????? 又因? ????? 所以? (2)? 由上式可见，a与r方向相反，即a指向轨道圆周中心。 6 一张致密光盘(CD)音轨区域的内半径 R = 2.2cm，外半径为R = 5.6cm, 如右图所示，径向音轨密度N = 650条/mm。在CD唱机内，光盘每转一圈，激光头沿径向向外移动一条音轨，激光束相对光盘是以的恒定速度运动的。这张光盘的全部放音时间是多少？激光束到达离盘心 r = 5.0cm 处时，光盘转动的角速度和角加速度各是多少？ 解: (1) 以r表示激光束打到音轨上的点对光盘中心的径矢，则在dr宽度内的音轨长度为2πrNdr 。激光束划过这样长的音轨所用的时间为 dt = 2πrNdr/v 。由此得光盘的全部放音时间为 ?????(2) 所求角速度为 ??????所求角加速度为 ?????????????????????? ???????????????????????? 例3 两个质量均为m 的质点，用一根长为 2a、质量可忽略不计的轻杆相联，构成一个简单的质点组。如图5-4所示，两质点绕固定轴 OZ以匀角速度 转动，轴线通过杆的中点O与杆的夹角为 ，求质点组对O点的角动量大小及方向。 解: 设两质点A、B在图示的位置，它们对O点的角动量的大小相等、方向相同（与OA和 mv 组成的平面垂直）。角动量的大小为 例6 如图5-7所示，两物体质量分别为m1和m2，定滑轮的质量为m，半径为r，可视作均匀圆盘。已知m2与桌面间的滑动摩擦系数为，求m1下落的加速度和两段绳子中的张力各是多少？设绳子和滑轮间无相对滑动，滑动轴受的摩擦力忽略不计。 解： 对m1，由牛顿第二定律 对m2，由牛顿第二定律 对滑轮，用转动定律 又由运动学关系，设绳在滑轮上不打滑 联立解以上诸方程，可得 例7 如图5-8所示。两个圆轮的半径分别为R1和R2，质量分别为M1和M2。二者都可视为均匀圆柱体而且同轴固结在一起，可以绕一水平固定轴自由转动。今在两轮上各绕以细绳，绳端分别挂上质量是m1和m2的两个物体。求在重力作用下，m2下落时轮的角加速度。 解： 如图示，由牛顿第二定律 对m1： 对m2：