线性代数章练习题.docVIP

第四章练习题 一、选择题 1. 若向量组线性无关，向量组线性相关，则下列结论中正确的是( ). (A) 必可由线性表示； (B) 必不可由线性表示； (C) 必可由线性表示； (D) 必不可由线性表示. 2. 设向量组I：可由向量组II：线性表示，则下面结论中正确的是( ). (A) 当 时，向量组II必线性相关； (B) 当时，向量组II必线性相关；　 (C) 当 时，向量组I必线性相关； (D) 当时，向量组I必线性相关. 3. 设齐次线性方程组和，其中都是阶矩阵，现有四个命题 （1） 设的解均是的解，则秩秩; （2） 若秩秩，则的解均是的解； （3） 若与同解，则秩秩; （4） 若秩秩，则与同解. 以上命题正确的是( ) (A) (1)(2); (B) (1) (3); (C) (2) (4); (D) (3) (4). 4. 元向量组线性无关的充要条件是（ ） （A） 中任何两个向量都线性无关； （B）存在不全为零的个数，使得； （C）中存在一个向量不能用其余向量线性表示； （D）中任何一个向量都不能用其余向量线性表示. 二、 填空题 1. 设是阶矩阵，，是线性方程组的三个不同的解，且，则的所有解为 . 2. 设向量组，则向量组的一个极大线性无关组是 ， 秩是 . 3. 设 ，已知不能由 线性表示，则 = . 4. 设是实数域上的全体阶反对称矩阵所成的线性空间, 即 写出的一组基 的维数是 , 设4阶矩阵写出在上面这组基下的坐标是 . 5. 向量组的极大线性无关组是 ，用此极大线性无关组表示其余的向量 。 6. 设是阶矩阵, 且 维列向量, 线性方程组的个解向量为，，，则线性方程组的通解是 . 7. 在中，由基，到基，的过渡矩阵是 ， 向量在基下的坐标是 . 三、计算与证明题 1. 已知向量组的秩为3， （1）求及的一个极大线性无关组； （2）当取上述（1）中所确定的数值时，问能否由线性表示，能否由线性表示. 2. 设有两组向量和， （1）求实数，使得为中的一组基，并求基到基的过渡矩阵； （2）已知在基下的坐标为，求在基下的坐标； （3）取，求在基与基下有相同坐标的所有非零向量. 3. 设欧氏空间的一组向量 （1）求证：是的一组基； （2）把改造成的标准正交基； （3）求由基到基的过渡矩阵； (4) 向量在基下的坐标是，求向量在基下的坐标。 4. 设线性方程组 1） 求该线性方程组的通解（要求用该方程组的一个特解与对应导出组的基础解系的线性组合之和来表示）， 2）写出该方程组解向量集合的一组极大线性无关组. 5. ,设基I和基II分别为 1）求基I到基II的过渡矩阵； 2）分别求向量在基I和基II下的坐标； 3）求一个向量，它在基I和基II下具有相同的坐标. 6. 已知向量组,, 与向量组, ,具有相同的秩, 且可由线性表示, 求的值, 并写出由线性表示的表示式(只需写出一种表示式). 7. 设是实数域上的全体阶矩阵，即 的运算是普通矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法，对于这两种运算成为线性空间，的子集合 问的子集合和对于中的运算是否成为的子空间（要说明理由）？写出该子空间的一组基，并且求出它的维数. 8. 设为阶矩阵，为维非零列向量，为的两个不同的解，为的解， （1） 证明线性无关； （2） 若的秩为 则线性相关. 9. 设向量组都是维向量，线性无关，且与都正交，求证：线性相关. (1). 设是齐次线性方程组的个线性无关的解，是线性方程组的解，求证 线性无关. (2). 设为阶矩阵，且，为阶矩阵，且，已知，且维非零列向量是齐次方程组的解，求证存在唯一的维列向量，使得. (答案见讲稿) 10. 设V是欧氏空间，是V中的非零向量，是V中的s个向量，求对于任意的k，当时，，求证：是线性无关的。 11. 设是矩阵, 是矩阵, 令 为齐次线性方程组的一个基础解系, 设, 这里是的前个元素, 是的后个元素(), 求证: 线性无关. 12. 设是阶矩阵，是维非零列向量，维列向量