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线性代数讲稿 　　 许 茜 使用教材：《线性代数》 　　 同济第四版 第一章 行列式 目标： 1）理解行列式的定义与性质；掌握三阶行列式的对角线计算方法； 2）利用性质和展开定理会计算四阶行列式以及简单阶行列式。 3）掌握克拉默法则。 §1.1 全排列与逆序数 知识点：排列、逆序 1、 引例：用1、2、3三个数字，可以组成多少没有重复数字的三位数？ 思考：百位：可以从1、2、3中任选一个，所以有三种排法 十位：在百位数字确定的情况下，只有从剩下的两个数字中任选一个，所以有两种选法；如：百位为1，十位只能取2或3 个位：在百位、十位数字都确定情况下，个位只有一种取法 所以，共有3×2×1=6种排法。即： 　 123，132， 213，231， 312，321 例1 互异元素构成的不同排列有 种？ 解 在个元素中任选1个放在第一位，有种取法 在剩余个元素中任选1个放在第二位，有种取法 在剩余个元素中任选1个放在第三位，有种取法 ……………… ………… 在剩余2个元素中选取1个 2种取法 在剩余1个元素中选取1个 1种取法 　　于是，n 个不同元素排成一排总共有n(n-1)(n-2) …2×1=种排法 2．标准排列：个不同的自然数从小到大构成的排列． 个不同的元素按照某种约定次序构成的排列． （本讲义中指第一种定义） 3．逆序数： (1) 某两个数（元素）的先后次序与标准次序不同时, 称这两个数（元素） 之间有1个逆序． (2) 排列中逆序的总和称为排列的逆序数, 记作． （3）逆序数的计算方法： 例2 求排列32451中的逆序数 解：3排在首位，前面没有比他大的数字，所以逆序数为0； 2前面比他大的数字有一个3，所以2的逆序数为1； 4前面没有比他大的数字，所以逆序数为0； 5前面没有比他大的数字，所以逆序数为0； 1前面比他大的数字有四个为3、2、4、5，所以逆序数为4； 所以 ． 4．排列的奇偶性：排列 奇数时, 称为奇排列； 偶数时, 称为偶排列． 例t(1324)=1奇数，所以排列1324为奇排列 t(2431)=4 偶数，所以排列2431为偶排列。 小结： 作业：习题一：2 §1.2 行列式的定义 知识点: 阶行列式的定义（通过三阶行列式的三个特征引进）； 一、二三阶行列式 1、二阶行列式：四个数排成2行2列的数表（横为行，竖为列） 表达式成为该表所确定的二阶行列式， 记作： 。其中，称为元素，每个元素都有两个脚标，前脚标为行标，指明该元素所在的行；后脚标为列标，指明该元素所在的列。元素可记作：，i为元素的行标，j为列标 例如：行列式 中元素0位于第2行第1列；第一行第二列的元素为3。 2、 二阶行列式的计算（对角线法则） 副对角线 主对角线 结论： 二列式等于主对角线上两元素之积减去副对角线上两元素之积。 例1、计算下列二阶行列式的值 3、三阶行列式 定义：9个数排成3行3列的数表 记 为上表所确定的三阶行列式 4、三阶行列式的计算（对角线法则） 结论：（1）三阶行列式的表达式中共有3！项； （2）每项都是三个元素的乘积，且这三个元素来自不同行、不同列； （3）每项都可以写成，其中是1、2、3的一个排列（正负号除外）； （4）排列偶数，该项前面取“+”； 排列奇数，该项前面取“-”。 　 于是 , ． 5、阶行列式：个数, 称 为阶行列式, 它表示数值 , 其中, 求和式中共有项，同样，每项都是来自不同行不同列的n个元素的乘积 例1、（1）乘积 是否为四阶行列式中的项？ （2）在四阶行列式中，项前面应取的正负号是 解：（1）在乘积中，元素行标同为2，说明两元素都来自第2行，所以不是四阶行列式中的项。 （2）适当交换所给项中各元素的次序，使得他们的行标按顺序排列，得到，此时，列表的逆序数为t(2413)=3 是奇数，因而项 前面应取“负号” 例2、 计算, . 解 中只有一项不