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线性代数知识网络图 【矩阵与向量】 1.概念 由个数排列成行、列的矩形(有序)表。 2.线性运算 加法:. 数乘:. 乘法:设,,定义, 其中,. 转置: 3.矩阵的秩 零矩阵的秩定义为零；非零矩阵的秩定义为非零子式的最高阶数(即最高阶非零子式的阶数),记为。 4.高矩阵 秩等于列数的矩阵(即最高阶非零子式的阶数等于列数的矩阵)称为高矩阵. ●为高矩阵存在着矩阵使得为可逆矩阵(这时自然也为高矩阵)存在着矩阵使得(这时自然也为高矩阵)的列向量线性无关. 5.可逆矩阵 ●对于方阵：可逆非奇异(非退化,正则)满秩可初等变换成等价于可表为有限个初等矩阵之积有唯一解只有零解的个行(列)向量线性无关维向量组线性无关由可推得系数(将系数组看成解,即只有非零解)任意不全为零的数总使得的特征值全不为零按乘法，能由已知的线性无关向量组产生新的线性无关向量组按乘法，能由已知的维线性空间中的一个基产生该空间中的另一个基(就是反映两基关系的过渡矩阵). 以上助记为： 非奇异，就可逆， 所含列组线独立； 非零式，就满秩， 零解齐次方程式； 初换Ｅ，等价Ｅ， 非齐方程解唯一； 非零值，初阵积， 右乘旧基变新基。 (其中非零式指非零行列式，非零值指非零特征值). ●矩阵任一非零子式所在的行(列)向量组成的向量组线性无关. 矩阵最高阶非零子式所在的行是矩阵行向量组的一个最大线性无关组; 矩阵最高阶非零子式所在的列是矩阵列向量组的一个最大线性无关组. 【矩阵与方程】 【向量与方程】 ●向量能由向量组线性表示 (即存在使) 方程有解(解就是线性表示(组合)系数) 矩阵的秩等于增广矩阵的秩. ●向量组能由向量组线性表示 (即存在使， 或 存在使) ) 矩阵方程有解(解就是线性表示(组合)系数) 矩阵的秩等于增广矩阵的秩. 【矩阵的特征值和特征向量】 ●对于阶方阵，若存在数及维非零列向量，使得，则称是的一个特征值，称是的对应于特征值的一个特征向量。 ●是方阵的特征值是方阵的特征多项式的根(零点) 是方阵的特征方程的解(根). ●是方阵的属于特征值的特征向量非零且满足 是齐次方程组的非零解. ●方阵的特征值不同与这些不同特征值对应的特征向量之间线性无关. ●求方阵特征值和特征向量的方法： （1）由已知方阵，写出特征方程，解此方程，其全部解就是的全部特征值； （2）对于上面求出的每一个，解齐次方程组，其全部非零解就是的属于的全部特征向量，其中按化为行最简形“标准程序”直接求出的所有非零解构成了一个对应于这个的基础解系（其中为特征矩阵的秩），这个基础解系就是的属于特征值的全部线性无关的特征向量。 【相似矩阵】 相似变换与相似矩阵： 对于阶方阵、，若存在可逆矩阵，使得，则称与相似，或称是的相似矩阵，记为～。这时运算称为对进行相似变换。 对角化： ●阶方阵相似于对角阵阶方阵可对角化有个线性无关的特征向量(这时自然有且对角阵主对角线上的元素就是的个特征值)存在有个线性无关的向量，且满足(此时与相似的对角阵的对角线上的元素为) . ●阶方阵的个特征值互不相等阶方阵可对角化. ●阶方阵可对角化对角阵主对角线上的元素就是的个特征值. ●阶方阵的个特征值有相等(即有重特征根)可能有也可能没有个线性无关的特征向量 可能可对角化也可能不可对角化. 【线性空间 线性变换】 ●一般抽象向量、抽象基向量、坐标(即具体数组向量)的关系： (1) 即:坐标=由基线性表示(组合)的系数数组 坐标元=由基线性表示(组合)的系数 或即：抽象向量可以通过在某一基下的坐标表示出来 还即：抽象向量=基左乘坐标(列矩阵) ●一般抽象线性变换、抽象基向量、矩阵的关系： (2) 或即：抽象线性变换可由在某一基下的矩阵表示出来 还即：抽象线性变换去变换基(结果为抽象向量组)=基左乘矩阵 【注】：(1)式和(2)式是类似的，(1)式表明任一向量等于基左乘以坐标；(2)式表明任一线性变换等于基左乘以矩阵。 【内积空间】 ●规范正交基下，维向量与坐标以及基的关系： (3) . 即:坐标=由规范正交基线性表示(组合)的系数数组=基与向量的内积 坐标元=由规范正交基线性表示(组合)的系数=基向量与向量的内积 【注】：(3)式和(1)式在内积空间的一个应用。