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线性代数第四章测试 参考答案 学院 计算机科学与信息技术学院 专业 课程 向量组的线性相关性 年级 班 姓名 学号 成绩 与其它学科相比，数学成绩的方差历来较大，学数学要靠积累、消化、循序渐进，愿有志者抓紧抓细抓早. 一、 填空题 (1) 向量组线性———关。 (2) 4维向量组，，， ，的秩是——，且一个极大无关组为———。 (3) 设的两组基为，，； ，则由基到基的过渡 矩阵为———，在基下的坐标为———。 ———。 （1）相；（2）4；；（3）；（4，-2，0）；（4）2； 二、 选择题 1．下列向量组的一个极大线性无关组可取为 （ ????）． ? A． B． C． D． 答案：B 2. 向量组的秩是（????）． A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 3. 向量组线性相关的充要条件是（????）． A．存在一组均不为零的数使 成立 ?? B．有且只有一个向量可由其余向量线性表出 C．至少有一个向量可由其余向量线性表出 ?? D．每个向量都可由其余向量线性表出 答案：C 4．. 已知2维向量组 ，则 至多是（ ????）． A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 5. 线性方程组的基础解系为（?? ??）． A． B． ?? C． D． 答案：C 三、计算题 1． 当a为值何时，方程组 有解？在有解时，求出它的通解（用导出组的基础解系表出）. 2、. 设 , ， 试讨论当a, b为何值时 （I）不能由线性表示； （II）可由惟一地线性表示，并求出表示式； （III）可由线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式. 解 设有效 使得 （≠） 记A = ().对矩阵（A、）施以初等行变换，有 （I）当a = 0, b为生意常数时，有 可知，故方程组（≠）无解，β不能由线性表示. （II）当，且时，=3，故方程组（≠）有惟一解 ， 则β可由惟一地线性表示，其表示式为 （III）当时，对施以初等行变换，有 可知= 2，故方程组（≠）有无穷多解，其全部解为 ，其中c为任意常数. β可由线性表示，但表示不惟一，其表示式为 . 3. 设β1=α1+α2, β2=α2+α3, β3=α3+α4, β4=α4+α1, 证明向量组β1,β2,β3,β4线性相关. 证: 只须证明齐次方程 x1β1+x2β2+x3β3+x4β4=O (1) 有非零解, 即证明了向量组β1,β2,β3,β4线性相关. 将β1=α1+α2, β2=α2+α3, β3=α3+α4, β4=α4+α1 代入(1)式, 得 x1(α1+α2)+x2(α2+α3)+x3(α3+α4)+x4(α4+α1)=O 整理后得 (x1+x4)α1+(x1+x2)α2+(x2+x3)α3+(x3+x4)α4=O 因此, 只须找到不全为零的x1,x2,x3,x4使得上式中的α1,α2,α3,α4,的系数等于0, 则命题得证. 也就是要使 (2) 解此齐次方程组, 对系数矩阵进行行初等变换得: 方程有一个自由变量x4, 因此方程组(2)有非零解, 此解也就满足方程组(1), 因此β1,β2,β3,β4线性相关. 4.. 验证α1=(1,-1,0), α2=(2,1,3),α3=(3,1,2)是R3的一个基， 并把β=(5,0,7)用这个基线性表示。 解: 如果将α1,α2,α3看作列向量拼成的矩阵 有逆存在, 则它们必是R3的一个基, 因此试求此矩阵的逆如下: 因此A有逆存在为 因此α1,α2,α3线性无关确实是R3的一个基. 则任给一列向量D=(d1,d2,d3), 将其作为列向量, 则解方程组AX=D, 可得X=A-1D, 具体用β代入D, 可得 即解得β在这基α1,α2,α3下的坐标为2,3,-1, 即 β