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线性代数总结2
⑨≤ ≤≤
⑩
注：
线性方程组的矩阵式 向量式
矩阵转置的性质：
矩阵可逆的性质：
伴随矩阵的性质：
（无条件恒成立）
线性方程组解的性质：
√ 设为矩阵,若一定有解，
当时,一定不是唯一解,则该向量组线性相关.
是的上限.
√ 判断是的基础解系的条件：
① 线性无关；
② 都是的解；
③ .
√ 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.
√ 若是的一个解，是的一个解线性无关
√ 与同解（列向量个数相同）,则：
① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等；
② 它们对应的部分组有一样的线性相关性；
③ 它们有相同的内在线性关系.
√ 两个齐次线性线性方程组与同解.
√ 两个非齐次线性方程组与都有解，并且同解.
√ 矩阵与的行向量组等价齐次方程组与同解（左乘可逆矩阵）；
矩阵与的列向量组等价（右乘可逆矩阵）.
√ 关于公共解的三中处理办法：
① 把(I)与(II)联立起来求解；
② 通过(I)与(II)各自的通解，找出公共解；
当(I)与(II)都是齐次线性方程组时，设是(I)的基础解系, 是(II)的基础解系，则 (I)与(II)有公共解基础解系个数少的通解可由另一个方程组的基础解系线性表示.
即：
当(I)与(II)都是非齐次线性方程组时，设是(I)的通解，是(II)的通解，两方程组有公共解可由线性表示. 即：
③ 设(I)的通解已知，把该通解代入(II)中，找出(I)的通解中的任意常数所应满足(II)的关系式而求出公共解。
标准正交基 个维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.
向量与的内积
. 记为：
向量的长度
是单位向量 . 即长度为的向量.
√ 内积的性质： ① 正定性：
② 对称性：
③ 双线性：
的特征矩阵 .
的特征多项式 .
√ 是矩阵的特征多项式
的特征方程 .
√ ，称为矩阵的迹.
√ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的各元素.
√ 若,则为的特征值,且的基础解系即为属于的线性无关的特征向量.
√ 一定可分解为=、,从而的特征值为：, .
注为各行的公比，为各列的公比.
√ 若的全部特征值，是多项式,则:
① 若满足的任何一个特征值必满足
②的全部特征值为；.
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