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线性代数习题库 第一套 一.????? 填空题(每小题3分,满分30分) 1.???? 设都是4维列向量,且4阶行列式则4阶行列式_______________。 2.???? 已知线性相关,不能由线性表示则线性__________ 3.???? 设是阶矩阵 ,是阶矩阵,,,且,则的取值范围是________________ 4.设是43矩阵,且的秩且 ???????????? ? 则__________- 5.设0是矩阵 ????????????? 的特征值,则_____________. 6.设是正定二次型, 则的取值区间为 7.矩阵 ?????????? ? 对应的二次型是_______________ 8. 设 ?????????????????????????????? 相似于对角阵,则 9.设为3阶方阵,为伴随矩阵,,则=___________ 10.设 ?????????? ? 是不可逆矩阵,则____________ 二? (8分)计算行列式 一. ???????????????? 三.(8分) 三阶方阵满足关系式:,且 ?????????????????????????????????? , 求. 四.(10分)设 ? 求向量组的秩及其一个极大无关组. 五. (12分)问常数取何值时, 方程组 ????????????????????????????????????????????? 无解,有唯一解,或有无穷多解,并在有无穷多解时写出其一般解. 六. (16分)求正交变换,将二次型 化为 标准形,并写出其标准形. 七. (8分)设都是阶矩阵,且可逆,证明与有相同的特征值. 八. (8分)设向量组线性无关,向量可由向量组线性表示,而向量不能由向量组线性表示. 证明:个向量必线性无关. 第二套 一. ? 填空题 (每小题3分，满分30分) 1. = 。 2. 已知α= (0, -1 , 2)T , β=(0, -1 , 1)T , 且A =αβT , 则A4 = 。 3. ? 设A、B为4阶方阵，且=2，=81，则= 4. 设3阶方阵A的非零特征值为5，-3，则= 5. 与向量组α1= (,,,)T , α2= (,, -, -)T , α3= (, -,, -)T ,都正交的单位向量α4= 6. A是3×4矩阵，其秩rank=2, B=, 则rank= _____ 7. 设β1、β2是非齐次方程组Ax=b的两个不同的解，α是对应的齐次方程组的基础解系，则用β1 ,β2 ,α表示Ax=b的通解为 。 8. ??? 向量组α1= (1, 1 , 1)T , α2= (1, 2 ,4)T , α3= (1, a , a2)T 线性无关的充要条件为a≠ 且a≠ 。 9. 设可逆方阵A的特征值为λ，则kA-1的特征值为 。 10. ? f(x1, x2, x3)= x12+ax22+2x32-2x1x2为正定二次型，则a的取值范围为 二.（10分）计算n阶行列式 Dn = ???????? ? 三.（8分）设A、B为3阶矩阵，且A2B = A + B – E ，其中A = ??????????? ， E为3阶单位矩阵，求矩阵B。 ? 四.（8分）确定a、b的值，使矩阵A= ????????????????????????????????? 的秩为2。 五.（10分）设α1= (1, 0, 2, 1)T , α2= (1, 2, 0, 1)T , α3= (2, 1, 3, 0)T , α4= (2, 5, -1, 4)T , 求此向量组的秩及一个极大无关组。 六. 六.? （8分）设α1 ,α2 , … ,αn ,αn+1 线性相关，而其中任意 n个向量均线性无关，证明: 必存在（n+1）个全不为零的数k1 ,k2 ,…, kn ,kn+1 使 得 k1α1 + k2α2 + … + knαn + kn+1αn+1 = 0 七、（10分）设齐次方程组 a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = 0 , a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = 0 , … … an1x1 + an2x2 + … + annxn = 0 ,