线性代数§n阶行列式习题与答案.docVIP

§1.2 n阶行列式 为了得到更为一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入n阶行列式的概念。为此，先介绍排列的有关知识。 ㈠排列与逆序：(课本P4) １、排列的定义：由数码1，2，…，n，组成一个有序数组，称为一个n级排列。 【例1】1234是一个4级排列， 3412也是一个4级排列， 而52341是一个5级排列。(课本P4中例) 【例2】由数码1，2，3 组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3! = 6个。 【例3】数字由小到大的n级排列1234…n 称为自然序排列。 ２、逆序的定义：在一个n级排列中，如果有较大的数排在的前面，则称与构成一个逆序。(课本P4) 【例4】在4 级排列3412中， 31，32，41，42，各构成一个逆序， 在5 级排列34152中， 31，32，41，42，52，共构成5个逆序。 3、逆序数的定义：一个n级排列中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记为。(课本P4) 【例5】排列3412的逆序数为N(3412) = 4， 排列52341的逆序数为N(52341) = 7， 自然序排列的逆序数为0。 4、奇、偶排列的定义：如果排列的逆序数是奇数，则将称为奇排列；如果排列的逆序数是偶数，则将称为偶排列。(课本P4) 【例6】由于N(3412) = 4，知排列3412是偶排列， 由于N(52341) =7，知排列52341是奇排列， 由于N(123…n) = 0，知自然排列123…n是偶排列。 【例7】由数码1，2，3组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3! = 6个，其中，奇排列有132，213，321三个，偶排列有123，312，231三个。奇偶排列各占一半。 5、对换的定义：在一个n级排列中，如果其中某两个数与对调位置，其余各数位置不变，就得到另一个新的n级排列，这样的变换称为一个对换，记作。(课本P5) 【例8】在排列3412中，将4与2对换， 得到新的排列3214。 【例9】偶排列3412经过4与2的对换后，变成了奇排列3214； 反之，奇排列3214经过2与4的对换后，变成了偶排列3412。 定理1.1 任意一个排列经过一个对换后，其奇偶性改变。(课本P5) 定理的证明见课本P5。 【例10】奇排列132经对换(3，2)得到偶排列123， 偶排列312经对换(1，2)得到奇排列321。 定理1. 2 n个数码()共有n！个n 级排列，其中奇、偶排列各占一半。(课本P6) 定理的证明见课本P6。 【例11】由数码1，2，3组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3! = 6个，其中，奇排列有132，213，321三个，偶排列有123，312，231三个。 相应练习见课本 【第四版】习题一(A)中的8大题。 =============================================== ㈡ n阶行列式的定义：(课本P6) 我们从观察二阶、三阶行列式的特征入手，引出n阶行列式的定义。 二阶行列式为， 三阶行列式为 ， 我们可以从二阶、三阶行列式中发现以下规律： (1) 二阶行列式是2！项的代数和，三阶行列式是3！项的代数和； (2) 二阶行列式中每一项是两个元素的乘积，它们分别取自不同的行和不同的列， 三阶行列式中的每一项是三个元素的乘积，它们也是取自不同的行和不同的列； (3) 每一项的符号是：当这一项中元素的行标是按自然序排列时，如果元素的列标为偶排列，则取正号；为奇排列，则取负号。 作为二、三阶行列式的推广，我们给出n阶行列式的定义。 定义1.2 用个元素（）和双竖线组成的记号 称为n阶行列式。有时简记为。(课本P7) n阶行列式的定义包含如下的内容： ⑴构成：n阶行列式的横排称为行，纵排称为列。元素的第一个下标表示这个元素位于第行，称为行标，第二个下标表示这个元素位于第列，称为列标。(课本P7) 【例12】三阶行列式 有3行3列共32 = 9个元素。 其中，第二行元素为 1，4，7；第二列元素为5，4，6， 元素7的位置为第2行第3列。 ⑵含义：n阶行列式是n ! 个项的代数和，其中每一项是取自不同行和不同列的n个元素的乘积。(课本P8) 由于一个项中的n个乘积元素来自不同的行，而乘法满足交换率，故为方便分析，可以将n个元素按行码的自然数顺序排列，再分析列码的状态。 当行码按自然序列排列后，列码的不同排列即对应不同的项，由于n个元素共有不同排列n!个，从而n阶行列式中共有n!个不同的项。 【例13】一阶行列式│a│= a只有1个项。 【例14】三阶行列式 ， 共有3！＝6个不同的项， 和的元素都来自不同行且不同列，都可能是A中的一个项， 而中的与同来自第