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线性代数模拟试题(II) 一 填空题 ◆1． 设有3个线性无关的特征向量，则应满足的关系为 【提示】按题意是可对角化的，求其特征值，重根的重数应满足什么关系？ 参照教材P125例11 ◆2． 设是3阶实对称矩阵且，则的二次型经正交变换化为标准 形为 【提示】设的特征值为，它必满足：，由于实 对称矩阵特征值全是实数，故的特征值全是2。 ◆3． 设3阶方阵的特征值为，则 【提示】参考教材P122例9 ◆4． 设矩阵的各行元素之和都等于2，则必有特征值为 2 ，对应的特征向量为 【提示】 ◆5． 设非齐次方程组系数矩阵的秩为，且它的三个解向量满足 ， 则的通解为 【提示】这是教材P111的第29题 二 选择题 ◆1． 设都是阶方阵，如果，必有（ ） （Ａ）或； （Ｂ）； （Ｃ）与有一个不可逆；（Ｄ）与有一个可逆 【提示】取行列式 ◆2．　　方阵与相似的充分条件是（ ） (Ａ) ； （Ｂ）； (Ｃ) 与有相同的特征值且这些特征值互异； （Ｄ）与有相同的特征值 【提示】注意题中是充分条件，而（Ａ）（Ｂ）（Ｄ）都是必要条件 　　　　如果（Ｃ）成立，则Ａ与Ｂ都可对角化到同一个对角矩阵， ◆3． 设，则与（ ） (Ａ) 不合同但相似 (Ｂ) 合同但不相似 (Ｃ) 合同且相似 (Ｄ) 既不合同也不相似 【提示】Ａ是对称矩阵，易求得Ａ的特征值为４和０（三重）［参见教材P139第21题］ A可正交对角化（既合同又相似），对角矩阵对角元就是其特征值。 ◆４． 设是非齐次线性方程组的两个不同的解，是的 基础解系，则的通解是(Ｃ) 　　（Ａ）；（Ｂ） （Ｃ）；（Ｄ） 【提示】与线性无关，仍然是的基础解系。 是的一个解。虽然（Ｄ）有可能是通解，但选择题应选肯定的，故 （Ｄ）不能选。 ◆５．　设，则下面说法不对的是( ) （Ａ）的行组与的行组等价 （Ｂ）与等价 （Ｃ）的列组与的列组等价 （Ｄ）的列组与的列组有相同的线性关系 【提示】由题设 （Ａ）是对的，［见教材Ｐ85最上一段］ （Ｂ）是对的，这是矩阵等价的特征例［见教材P59定义］ （Ｄ）是对的，［见教材P95第４行］这也是我们求最大无关组的依据 三 计算题 ◆1． 计算行列式 提示 [这是教材P28习题7（6）]从第2列开始每一列减第1列得“爪形”行列式 ，然后再化三角形得 ◆2． 解矩阵方程，其中 提示 ，可逆，化简方程为 注意 上三角矩阵的逆矩阵一定是上三角 ◆3． 设3阶对称矩阵阵的特征值为，与特征值对应的 特征向量为， （1）求正交矩阵使成为对角矩阵；（2）计算 提示 [这是教材P139习题20]此题是对称矩阵正交对角化的问题，但对应对的 特征向量未知，利用对称矩阵的性质可求之，与正交的非零向量必是对应于 的特征向量，解方程组得基础解系（最好直接求得正交的，见 下面做法） ，取（是待定参数）得 ，，令 这样就得正交的基础解系，也就是对应于的特征向量 只要再它们单位化，拼成矩阵即为所求的正交矩阵 此时，， 注意 上面要非零，才能保证两个向量无关，如果求不出要求再换一种方式。 ◆4． 设为三阶矩阵，是线性无关的三维列向量，且满足 （1）求矩阵，使得； （2）求矩阵的特征值； （3）求可逆矩阵，使得为对角矩阵。 提示 ，即 上式右边就是要求的得 的特征值就是的特征值，你来求一下。 ◆5． 求一齐次线性方程组，使其基础解系为 ， 提示 [这是教材P110习题24]设所求方程组为，由题设，如果记 ，则即，这说明的列都是方程组的解。 把的解（只需要基础解系）作为列拼成即可。 解方程组，得基础解系为 ， 令， 四 证明题 ◆1． 设阶矩阵 （1）求的全部特征值； （2）证明是正定矩阵； （3）证明 提示 （1），由教材P139习题21知其全部特征值，这里再做 一下： 由知有一个非零特征值，对 应的特征向量就是。另外是对称矩阵且知，从而 可对角化，利用秩相等，就知对角矩阵对角元必为一个非零元（即）和 个零，这说明是的重特征值。当然也可直接求到此结论。 （2）首先易知是对称矩阵，其次特征值为，得证。 也可这样， （3）记，是对称矩阵，可对角化，要证，只 需证的特征值全是零（想想这是为什么？） 易知的特征值为，下面继续算一算是否都是 零。 了解 你来直接验证结论：设，则可逆的充要条件是 ，此时， ◆2． 设阶矩阵满足，证明必可对角化 提示 这一题实质上就是教材P110习题26： 下面分析一下二者的关系：由知的特征值为或1；对应于