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素数分布论 作者姓名：弯国强 作者单位：漯河市舞阳县莲花镇仁和小学 E-mail：632158@163.com 摘 要：素数分布主要研究什么呢？我认为主要应从三个方面进行研究：一、素数的个数公式；二、素数的生成公式；三、素数分布的性质。精确的素数个数公式，是研究素数分布的基础，离开了素数个数公式的研究，素数分布的研究就是无源之水，素数个数公式的研究一直是素数分布中的一个重要问题，因此，我们首先要研究素数的个数公式；其次找到素数的生成公式一直是人们梦寐以求的理想；最后就是对素数的各种性质进行研究，这样才能对素数的分布有的一个全面的理解。本文围绕素数的分布，利用分析的观点，证明了真正的素数定理： 摈弃了原来粗糙的素数定理的近似公式 深刻揭示了欧拉函数与素数个数之间的关系以及欧拉函数分析化的一个重要结论 ， 找到人们梦寐以求的能够生成全体素数的素数公式 关键词：素数、合数、筛法、素数分布、素数定理、素数公式 中图分类号：O156.1 素数在纯数学中是一个使数学家迷恋的字眼，它是那么简单，又是那么神秘。说它简单是因为它是整数的基石，既便是上过小学的学生都知道什么是素数；但是它又那么神秘，从古至今，多少数学家都想弄明白它的规律，却始终无法弄明白它的分布规律是什么。素数在自然数中占有极其重要的地位，但是它的变化非常不规则。素数分布就像一首神奇的乐章，美妙动听，引诱着一代又一代的数学家为了研究明白它的分布规律而殚精竭虑，费尽心机，可是至今仍没有一个数学工作者真正清楚素数分布的规律是什么？研究各种各样的素数分布状况，一直是数论中最重要和最有吸引力的中心问题之一。 素数分布主要研究什么呢？我认为主要应从三个方面进行研究：一、素数的个数公式；二、素数的生成公式；三、素数分布的性质。精确的素数个数公式，是研究素数分布的基础，离开了素数个数公式的研究，素数分布的研究就是无源之水，素数个数公式的研究一直是素数分布中的一个重要问题，因此，我们首先要研究素数的个数公式；其次找到素数的生成公式一直是人们梦寐以求的理想；最后就是对素数的各种性质进行研究，这样才能对素数的分布有的一个全面的理解。本文围绕素数的分布，利用分析的观点，证明了真正的素数定理： 摈弃了原来粗糙的素数定理的近似公式 深刻揭示了欧拉函数与素数个数之间的关系以及欧拉函数分析化的一个重要结论 ， 找到人们梦寐以求的能够生成全体素数的素数公式 人们研究问题常用的一个基本思想，就是从最简单的问题着手，并将复杂的问题转化为简单的问题去处理。对素数分布的研究也需要按照这个方法进行才能透砌地理解素数的实质。基本概念 素数，又称质数，只有两个正因数（1和本身）的自然数。 除了1和本身外还有别的约数的数称之为合数，而1和0既非素数也非合数。在素数中，只有2为偶数，其余的全为奇数，并且，当素数p＞3时，p一定是6k±1的形状（k为整数）。 对于正整数n，定义π(n)为不大于n的素数总个数。n表示n的算术平方根，[n]表示不超过n的最大整数。m为整数，当2≦≦[n]时，表示自然数n的前部质数，m为前部素数的个数，；j为整数，当[n]﹤≦n时，表示自然数n的后部质数，j为后部素数的个数。所以π(n)＝m+j。 连续素数：由小到大不间断的素数称作连续素数。例如：２、3、5、7、11……还可以表示为：其中为素数i=1、2、3、……表示素数由小到大的次序。 一个数是否是素数，还没有一般的判别方法，但是对于一个给定的数，我们可以找出所有不超过它的素数，因而也就判定了给定数n本身是不是素数。 定理1：任大于1的整数n，除1外的最小正因数q为素数，并且当n为合数时。 证明：若q不能是素数，那q除1，q外还有真因数,由知，也是n的异于1的正因数，这与q的最小性矛盾，故q是素数。 当n为合数时，设n=qp, p也是n的异于1的一个正因数，由q的最小性，，这样不等式两边同乘q，可以得到。命题证毕。 推论1：“若自然数n不能被不大于的任何素数整除，则n是一个素数”。见（代数学辞典[上海教育出版社]1985年。屉部贞世朗编。259页）。 证明：若n为合数，由定理1， n的最小正因数q为素数，且，这与题设矛盾，故n为素数。命题得证。 根据推论1，可以求出不超过正整数n的一切素数，具体方法是： 首先写出1，2，3，…………n—1，n 划去1，剩下第一个数是2，因为2没有小于自身的真因数，所以2是一个素数。 留下2，从2起，再划去2的倍数，第一个留下来未划去的是3，3没有小于自身的真因数，所以3是素数。 留下3，从3起，再划去3的倍数，第一个留下来未划去的是5，5没有小于自身的真因数，所以5是素数。 这样继续做下去，当我们把所有不大于的素数的倍数都划去后，剩下的数就是所有不超过n的素数。这个方法就是古老的筛法