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第三章 导数的应用 ;第二节 函数的性质 ;一、函数的单调性; 定理3.2.1（函数单调性的判定法）设y=f(x)在[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则 （1)如果在(a,b)内f ?(x)0 ，那么函数y=f(x)在[a,b]上单调增加； （2)如果在(a,b)内f ?(x)0 ，那么函数y=f(x)在[a,b]上单调减少．;;例1 讨论函数y=x3的单调性.;例2 讨论函数f(x)=ex-x-1的单调性.; 当f(x)在定义区间除去有限个点外导数均存在,那么只要用导数为零的点(驻点)和导数不存在的点来划分f(x)的定义域，就能保证在各个部分区间上单调。（单调区间的分界点为驻点和不可导点） ;（1）确定f(x)的定义域； （2）求出函数 在考察范围内的全部驻点和不可导点（除指定范围外，考察范围一般是指函数定义域）； （3）用这些驻点和不可导点将考察范围划分成若干个子区间； （4）确定f ?(x)在各部分区间的符号，据判定定理判定出f (x)的单调性 ;例4 求函数f(x)=x3-3x2-9x+1的单调区间.;令f ?(x)=0 ，得,x2=4/5 ． ;例6 证明：当x0时，ex1+x ．;又因为： f(0)=0，;o; 定义3.2.1 设函数f(x)在x0的某领域N(x0,?)内有定义， ，都有 （1）f(x)f(x0)成立，则称f(x0)为函数f(x)的极大值； （2）f(x)f(x0)成立，则称f(x0)为函数f(x)的极小值． 函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点．;f(x)的极小值点:; 定理3.2.2（极值的必要条件）设函数f(x)在点x0处可导，且在点 x0处取得极值，那么函数 f(x)在点x0处的导数为零，即 f ?(x0) =0．;1、可导函数的极值点必是它的驻点.;3、对于函数y = |x| , 我们已知 x = 0 是函数的连续不 可导点. 但x = 0是函数的极小值点. 如图.; 定理3.2.3（极值的第一充分条件）设函数f(x)在点x0某个空心邻域内可导（ f ?(x0)可以不存在），x为该邻域内任意一点， （1）当xx0时 f ?(x)0 ，当xx0时f ?(x)0 ，则f(x0)为函数f(x)的极大值； （2）当xx0时 f ?(x)0 ，当xx0时f ?(x)0 ，则f(x0)为函数f(x)的极小值； （3）当xx0与xx0时f ?(x)的符号相同，则f(x0)不是函数f(x)的极值．;(是极值点情形); 定理3.2.4（极值的第二充分条件）设函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f ?(x0)=0， f ??(x0) ?0 ，则 （1）当f ??(x0) 0时，函 f(x)在点x0 处取得极大值；（2）当f ??(x0) 0时，函 f(x)在点x0 处取得极小值．;（1）确定函数f(x)的考察范围，（除指定范围外，考察范围一般是指函数定义域）；;例8 求函数 的极值;例9 求函数 的极值; 定义3.2.2 设函数f(x)在区间I上有定义，x1,x2?I ， （1）若?x?I ，都有f(x)?f(x1) 成立，则称f(x1)为函数 f(x)的最大值， x1为函数f(x)的最大值点； （2）若?x?I ，都有f(x)?f(x2)成立，则称f(x2)为函数f(x)的最小值，x2为函数f(x)的最小值点． 函数的最大值与最小值统称为函数的最值，使函数取得最值的点称为最值点．;1. 最值是一个整体概念，在某一范围内，最值若存在，只能是唯一的；;（2）求出函数 f (x)在内的所有可能极值点：驻点及不可导点，即求出 f ?(x)=0的根和 f ?(x)不存在的点； ;例10 求函数 在区间[0,4] 上的最值.;（1）当f (x0) 是极大值时， f (x0) 就是区间I上的最大值； ;?x?R,有; 在实际问题中,往往根据问题的性质就可以断定可导函数f(x) 必存在最大值(或最小值),而且一定在定义区间内部取到.这时,如果f(x)在定义区间内部只有唯一驻点x0,那么,可以断定f(x0)就是最大值(或最小值). (不必讨论f(x0)是否为极值).;例12 要做